Determinar todos os intervalos de números reais que satisfaçam as desigualdades abaixo.
(x-1)^{2} \leq 3-x

Passo 1

O enunciado pede determinar todos os valores reais de x que satisfazem
(x-1)^{2} \le 3 - x.
É uma inequação do 2º grau. Para resolver, vamos expandir o quadrado, transpor tudo para um lado da desigualdade e estudar o sinal do polinômio resultante.

Passo 2

Expandindo o quadrado e reescrevendo todos os termos de um lado, temos
(x-1)^2 \le 3 - x
x^2 - 2x + 1 \le 3 - x.

Passo 3

Transpondo 3 - x para a esquerda, obtemos
x^2 - 2x + 1 - 3 + x \le 0
x^2 - x - 2 \le 0.

Passo 4

Fatorando o polinômio quadrático, temos
x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1).

Passo 5

O coeficiente de x^2 é positivo, então a parábola abre para cima e a desigualdade
(x - 2)(x + 1)\le 0
é satisfeita para x entre as raízes -1 e 2, inclusive.

Resposta

[-1,2]

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