Determinar todos os intervalos de números reais que satisfaçam as desigualdades abaixo.
\left(x^{2}+8 x+16\right)(x-1) \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
(x^{2}+8x+16)\,(x-1)\ge 0.
O conteúdo é análise de sinal de produto de fatores em \mathbb{R}. Vamos precisar fatorar o polinômio e estudar onde cada fator é nulo ou muda de sinal.

Passo 2

Note que
x^{2}+8x+16 = (x+4)^{2},
pois expandindo (x+4)^{2} obtemos x^{2}+8x+16.

Passo 3

Assim a desigualdade vira
(x+4)^{2}\,(x-1)\ge 0.
Os zeros dos fatores são \,x=-4 (multiplicidade 2) e \,x=1 (multiplicidade 1). O quadrado (x+4)^{2} é sempre não negativo, sendo zero apenas em x=-4. Para x\neq -4, o sinal do produto coincide com o sinal de x-1.

Passo 4

Para que (x+4)^{2}(x-1)\ge0 basta que um dos fatores seja zero ou que ambos sejam positivos. Como (x+4)^{2}=0 em x=-4, esse ponto satisfaz a desigualdade. Fora isso, precisamos de x-1\ge0, ou seja x\ge1.

Resposta

A solução é
\{-4\}\;\cup\;[1,\infty).

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