Resolva as equações em R :
\left|x^{2}-3 x-1\right|=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação com valor absoluto
\bigl|x^{2}-3x-1\bigr| = 3.
O conteúdo envolve a propriedade do valor absoluto e a resolução de equações quadráticas.

Passo 2

Pela definição de valor absoluto, \bigl|A\bigr|=3 implica
A = 3 \quad\text{ou}\quad A = -3.
Aqui A = x^{2}-3x-1. Então teremos dois casos a resolver.

Passo 3

Caso 1:
x^{2}-3x-1 = 3.
Subtraindo 3 de ambos os lados:
x^{2}-3x-4 = 0.
Essa é uma equação quadrática com discriminante
\Delta = (-3)^{2} - 4\cdot1\cdot(-4) = 9 + 16 = 25,
logo as raízes são
x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2},
isto é
x = 4 \quad\text{ou}\quad x = -1.

Passo 4

Caso 2:
x^{2}-3x-1 = -3.
Somando 3 em ambos os lados:
x^{2}-3x+2 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-3)^{2} - 4\cdot1\cdot2 = 9 - 8 = 1,
e as raízes são
x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2},
isto é
x = 2 \quad\text{ou}\quad x = 1.

Passo 5

Reunindo as soluções de ambos os casos, o conjunto solução é
\{-1,\;1,\;2,\;4\}.

Resposta

As soluções em \mathbb{R} são x = -1,\,1,\,2,\,4.

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