Determinar todos os intervalos de números reais que satisfaçam as desigualdades abaixo.
\frac{5 x-1}{2 x+1} \leq 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{5x - 1}{2x + 1} \le 2.
O conteúdo necessário é manipular inequações envolvendo frações, isto é:
  1. Determinar o domínio (onde o denominador não zera).
  2. Colocar tudo numa única fração subtraindo 2.
  3. Encontrar zeros do numerador e denominador para montar o quadro de sinais.
  4. Selecionar os intervalos que satisfazem “ \le0”.

Passo 2

Determinamos o domínio exigindo 2x+1\neq0, isto é
2x + 1 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x \neq -\tfrac12.

Passo 3

Reescrevemos a inequação numa única fração:
\frac{5x - 1}{2x + 1} \le 2 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{5x - 1}{2x + 1} - 2 \le 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{5x - 1 - 2(2x+1)}{2x + 1} \le 0.
No numerador temos
5x - 1 - 4x - 2 = x - 3,
logo a inequação fica
\frac{x - 3}{2x + 1} \le 0.

Passo 4

Identificamos os pontos críticos onde numerador ou denominador são zero:
x - 3 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 3, \quad 2x + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; x = -\tfrac12.
Fazemos o quadro de sinais para \dfrac{x-3}{2x+1}:
Intervalos: (-\infty,-\tfrac12), (-\tfrac12,3), (3,\infty).
  • Em x<-\tfrac12: numerador x-3<0, denominador 2x+1<0, quociente >0.
  • Em -\tfrac12<x<3: numerador <0, denominador >0, quociente <0.
  • Em x>3: numerador >0, denominador >0, quociente >0.
Queremos \frac{x-3}{2x+1}\le0, ou seja sinal negativo ou zero. Isso ocorre apenas em -\tfrac12<x<3 (sinal negativo) e em x=3 (zero). Nunca em x=-\tfrac12 porque não pertence ao domínio.

Resposta

A solução da inequação é
x\in\bigl(-\tfrac12,\,3\bigr].

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