Determinar todos os intervalos de números reais que satisfaçam as desigualdades abaixo.
\frac{3 x}{\sqrt{x^{2}-9}}<0

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos resolver a inequação
\frac{3x}{\sqrt{x^{2}-9}} < 0
O conteúdo é inequação com expressão radical no denominador. Vamos precisar (1) determinar o domínio da expressão e (2) analisar o sinal do quociente.

Passo 2

Para que a expressão esteja bem definida, o radicando deve satisfazer
x^{2} - 9 \ge 0
e o denominador não pode ser zero. Logo,
x^{2} \ge 9 \quad\Longrightarrow\quad |x|\ge 3,
mas excluímos x=\pm 3 pois aí \sqrt{x^{2}-9}=0. Portanto o domínio é
(-\infty,-3)\,\cup\,(3,\infty).

Passo 3

Dentro do domínio temos \sqrt{x^{2}-9}>0, ou seja, o denominador é sempre positivo. Assim o sinal da fração
\frac{3x}{\sqrt{x^{2}-9}}
é o mesmo do numerador 3x. Logo a expressão é negativa exatamente quando
3x<0 \quad\Longrightarrow\quad x<0.

Passo 4

Combinando x<0 com o domínio (-\infty,-3)\cup(3,\infty), a única parte que satisfaz ambas as condições é
x\in(-\infty,-3).

Resposta

(-\infty,-3)

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