Determinar todos os intervalos de números reais que satisfaçam as desigualdades abaixo.
x^{3}-x<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
x^{3}-x<0.
O conteúdo envolve polinômios e análise de sinal: precisamos fatorar a expressão em fatores lineares, encontrar os pontos onde ela se anula e estudar o sinal de cada fator em cada intervalo resultante.

Passo 2

Vamos fatorar x^{3}-x. Primeiro, extraímos x em evidência:
x^{3}-x = x\,(x^{2}-1).
Em seguida, fatoramos x^{2}-1 como diferença de quadrados:
x^{2}-1 = (x-1)(x+1).
Logo, a desigualdade fica
x\,(x-1)\,(x+1)<0.

Passo 3

Os zeros do produto são as raízes dos fatores:
x=0,\quad x=1,\quad x=-1.
Esses valores particionam a reta real em quatro intervalos:
(-\infty,-1),\;(-1,0),\;(0,1),\;(1,\infty).

Passo 4

Agora determinamos o sinal de cada fator em cada intervalo e, por consequência, o sinal do produto x\,(x-1)\,(x+1):
- Em (-\infty,-1):
x<0, (x-1)<0, (x+1)<0 ⇒ três negativos ⇒ produto <0 (satisfaz).
- Em (-1,0):
x<0, (x-1)<0, (x+1)>0 ⇒ dois negativos e um positivo ⇒ produto >0 (não satisfaz).
- Em (0,1):
x>0, (x-1)<0, (x+1)>0 ⇒ um negativo ⇒ produto <0 (satisfaz).
- Em (1,\infty):
x>0, (x-1)>0, (x+1)>0 ⇒ todos positivos ⇒ produto >0 (não satisfaz).
Além disso, como a desigualdade é estrita <0, excluímos os pontos onde o produto é zero -1,0,1.

Resposta

(-\infty,-1)\;\cup\;(0,1).

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