Determinar todos os intervalos de números reais que satisfaçam as desigualdades abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade
O conteúdo envolve polinômios e análise de sinal: precisamos fatorar a expressão em fatores lineares, encontrar os pontos onde ela se anula e estudar o sinal de cada fator em cada intervalo resultante.
Passo 2
Vamos fatorar
. Primeiro, extraímos
em evidência:
Em seguida, fatoramos
como diferença de quadrados:
Logo, a desigualdade fica
Passo 3
Os zeros do produto são as raízes dos fatores:
Esses valores particionam a reta real em quatro intervalos:
Passo 4
Agora determinamos o sinal de cada fator em cada intervalo e, por consequência, o sinal do produto
:
- Em
:
,
,
⇒ três negativos ⇒ produto <0 (satisfaz).
- Em
:
,
,
⇒ dois negativos e um positivo ⇒ produto >0 (não satisfaz).
- Em
:
,
,
⇒ um negativo ⇒ produto <0 (satisfaz).
- Em
:
,
,
⇒ todos positivos ⇒ produto >0 (não satisfaz).
Além disso, como a desigualdade é estrita
, excluímos os pontos onde o produto é zero
.