Exercício 1. Sabendo que a série \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} 4^{n} converge e que c_{n}>0 para todo n \geq 0, o que podemos afirmar sobre a convergência das séries abaixo?
(a) \sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(-2)^{n}
(b) \sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(-4)^{n}

Passo 1

O enunciado nos diz que a série
\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}\,4^{n}
converge e que c_{n}>0 para todo n. O conteúdo que vamos usar é o Teste da Raiz (ou a ideia de raio de convergência de uma série de potências): se
L = \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{c_{n}},
então a série \sum c_{n}x^{n} converge absolutamente se |x|\cdot L<1 e diverge se |x|\cdot L>1.

Passo 2

Aplicando o Teste da Raiz na série dada, temos
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{c_{n}4^{n}} =\Bigl(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{c_{n}}\Bigr)\cdot 4 =4L.
Como \sum c_{n}4^{n} converge, é necessário que 4L<1. Logo
L < \tfrac14.

Passo 3

Para a série (a) \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(-2)^{n}, aplicamos o mesmo teste:
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|c_{n}(-2)^{n}\bigr|} =2\,L.
Como L<\tfrac14, segue 2L<2\cdot\tfrac14=\tfrac12<1. Portanto a série (a) converge absolutamente, logo converge.

Passo 4

Para a série (b) \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(-4)^{n}, o Teste da Raiz dá
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|c_{n}(-4)^{n}\bigr|} =4\,L.
Mas já vimos que 4L<1. Assim a série (b) também converge absolutamente, logo converge.

Resposta

(a) converge
(b) converge

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