Determinar todos os intervalos de números reais que satisfaçam as desigualdades abaixo.
\left(x^{2}-4\right)^{\frac{-1}{2}}+x \cdot\left(\frac{-1}{2}\right)\left(x^{2}-4\right)^{\frac{-1}{2}} \cdot(2 x) \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
\left(x^{2}-4\right)^{-\tfrac12} \;+\; x\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)\,\left(x^{2}-4\right)^{-\tfrac12}\,(2x)\;\ge\;0.
O conteúdo envolve simplificar expressões com potências fracionárias e resolver desigualdades considerando domínio de definição.

Passo 2

Determinar o domínio de \left(x^{2}-4\right)^{-\tfrac12}. Como é equivalente a 1/\sqrt{x^2-4}, precisamos de
x^2-4>0
x<-2\quad\text{ou}\quad x>2.

Passo 3

Simplificar o lado esquerdo, fatorando \bigl(x^2-4\bigr)^{-\tfrac12}:
\left(x^{2}-4\right)^{-\tfrac12} \;+\; x\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)\,\left(x^{2}-4\right)^{-\tfrac12}\,(2x) = (1 - x^2)\,\bigl(x^2-4\bigr)^{-\tfrac12}.

Passo 4

No domínio \bigl(x^2-4\bigr)^{-\tfrac12}>0, a desigualdade
(1 - x^2)\,\bigl(x^2-4\bigr)^{-\tfrac12}\;\ge\;0
é equivalente a
1 - x^2 \;\ge\;0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 \;\le\;1 \quad\Longleftrightarrow\quad -1\le x\le1.
Não há interseção entre o intervalo [-1,1] e o domínio (-\infty,-2)\cup(2,\infty).

Resposta

Não existem valores de x que satisfaçam a desigualdade.

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