Resolva as equações em R :
\left|\frac{3 x+8}{2 x-3}\right|=4

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
\left|\frac{3x+8}{2x-3}\right| = 4.
Para isso, vamos usar a definição de valor absoluto e também observar o domínio da expressão racional (evitar denominador zero).

Passo 2

Primeiro, o denominador não pode ser zero, logo
2x - 3 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x \neq \tfrac{3}{2}.
Em seguida, pela definição de valor absoluto, \lvert A\rvert = 4 se e somente se
A = 4 \quad\text{ou}\quad A = -4.
Isto gera os dois casos
\frac{3x+8}{2x-3} = 4 \quad\text{e}\quad \frac{3x+8}{2x-3} = -4.

Passo 3

Resolvendo o primeiro caso
\frac{3x+8}{2x-3} = 4,
multiplicamos ambos os lados por 2x-3 (válido pois x\neq\tfrac32):
3x + 8 = 4(2x - 3) = 8x - 12.
Então, isolando x,
3x - 8x = -12 - 8 \quad\Longrightarrow\quad -5x = -20 \quad\Longrightarrow\quad x = 4.

Passo 4

Agora o segundo caso
\frac{3x+8}{2x-3} = -4.
Multiplicando por 2x-3 obtemos
3x + 8 = -4(2x - 3) = -8x + 12.
Reagrupando,
3x + 8x = 12 - 8 \quad\Longrightarrow\quad 11x = 4 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{4}{11}.

Passo 5

Verificamos se as soluções anulam o denominador. Para x=4 e x=\tfrac{4}{11} temos 2x-3\neq0, portanto ambas são válidas.

Resposta

x = 4 ou x = \frac{4}{11}.

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