Resolva as inequações em R:
\left|\frac{2+x}{3-x}\right|>4

Passo 1

Resumindo: queremos resolver em \mathbb{R} a inequação
\left|\frac{2+x}{3-x}\right|>4,
sabendo que o denominador não pode ser zero, ou seja, x\neq3. Vamos usar a definição de valor absoluto:
\left|A\right|>4\quad\Longleftrightarrow\quad A>4\quad\text{ou}\quad A<-4.

Passo 2

Escrevendo A=\frac{2+x}{3-x}, a inequação vira o sistema disjuntivo
\frac{2+x}{3-x}>4 \quad\text{ou}\quad \frac{2+x}{3-x}<-4.

Passo 3

Primeiro caso:
\frac{2+x}{3-x}>4.
Como é uma fração, analisamos o sinal de 3-x:
  1. Se 3-x>0 (isto é, x<3), multiplica-se sem inverter o sinal:
2+x>4(3-x) \quad\Longrightarrow\quad 2+x>12-4x \quad\Longrightarrow\quad 5x>10 \quad\Longrightarrow\quad x>2.
Combinando com x<3 2<x<3.
  1. Se 3-x<0 (isto é, x>3), ao multiplicar inverte-se o sinal:
2+x<4(3-x) \quad\Longrightarrow\quad 2+x<12-4x \quad\Longrightarrow\quad 5x<10 \quad\Longrightarrow\quad x<2,
que não tem interseção com x>3.
Portanto, deste caso sobra
x\in(2,3).

Passo 4

Segundo caso:
\frac{2+x}{3-x}<-4.
De novo dividimos pelo sinal de 3-x:
  1. Se x<3, multiplica sem inverter:
2+x< -4(3-x) \quad\Longrightarrow\quad 2+x< -12+4x \quad\Longrightarrow\quad -3x< -14 \quad\Longrightarrow\quad x> \tfrac{14}{3},
sem interseção com x<3.
  1. Se x>3, multiplica invertendo o sinal:
2+x> -4(3-x) \quad\Longrightarrow\quad 2+x> -12+4x \quad\Longrightarrow\quad -3x> -14 \quad\Longrightarrow\quad x< \tfrac{14}{3},
combinando com x>3
3<x<\tfrac{14}{3}.

Passo 5

Unindo os dois ramos válidos, a solução final é
x\in(2,3)\,\cup\,(3,\tfrac{14}{3}).

Resposta

(2,3)\,\cup\,(3,\tfrac{14}{3}).

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