Determine a solução da inequaçãò \frac{-4 x \cdot\left(x^{2}+2\right)^{2}-\left(2-2 x^{2}\right) \cdot 2\left(x^{2}+2\right) \cdot 2 x}{\left(x^{2}+2\right)^{4}} \geq 0, R: [-2,0] \cup[2, \infty)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{-4x\,(x^{2}+2)^{2} - \bigl(2-2x^{2}\bigr)\cdot 2\,(x^{2}+2)\cdot 2x}{(x^{2}+2)^{4}} \;\ge\;0.
Conteúdo: resolução de inequação de sinal de função racional. Vamos determinar o sinal do numerador e do denominador separadamente.

Passo 2

Escrevemos o numerador N e fatoramos:
N = -4x\,(x^{2}+2)^{2} \;-\; (2-2x^{2})\;4x\,(x^{2}+2).
Fator comum -4x\,(x^{2}+2):
N = -4x\,(x^{2}+2)\Bigl[(x^{2}+2)+(2-2x^{2})\Bigr] = -4x\,(x^{2}+2)\bigl(-x^{2}+4\bigr) = 4x\,(x^{2}+2)\,(x^{2}-4).

Passo 3

A inequação original vira
\frac{4x\,(x^{2}+2)\,(x^{2}-4)}{(x^{2}+2)^{4}}\;\ge\;0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{4x\,(x^{2}-4)}{(x^{2}+2)^{3}}\;\ge\;0.
Como (x^{2}+2)^{3}>0 para todo x\in\mathbb{R}, basta estudar
4x\,(x^{2}-4)\;\ge\;0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\,(x^{2}-4)\;\ge\;0.

Passo 4

Resolvemos x\,(x^{2}-4)\ge0. Os zeros são x=-2, x=0 e x=2.
Sinal em cada intervalo:
  • x<-2: x<0, x^{2}-4>0; \Rightarrow;produto <0.
  • -2<x<0: x<0, x^{2}-4<0; \Rightarrow;produto >0.
  • 0<x<2: x>0, x^{2}-4<0; \Rightarrow;produto <0.
  • x>2: x>0, x^{2}-4>0; \Rightarrow;produto >0.

Passo 5

Como queremos x\,(x^{2}-4)\ge0, incluímos os zeros e os intervalos onde o produto é não negativo. Assim a solução é
[-2,0]\;\cup\;[2,\infty).

Resposta

[-2,0]\cup[2,\infty)

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