Nos itens abaixo, ache a solução do sistema dado. Nos casos de PVI, resolva o sistema sujeito às condições iniciais indicadas.
ld xd t=-x+3 y d yd t=-3 x+5 y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema diferencial linear
dxdt=-x+3y, dydt=-3x+5y
O conteúdo é resolução de X'=AX por autovalores e autovetores, usando também autovetor generalizado devido à multiplicidade algébrica.

Passo 2

Escrevemos
de modo que

Passo 3

O polinômio característico vem de
det(A-lambda I) =det-1-lambda&3-3&5-lambda =(-1-lambda)(5-lambda)-(-3)(3)
Expandindo,
(-1-lambda)(5-lambda)+9 =lambda^2-4lambda-5+9 =lambda^2-4lambda+4 =(lambda-2)^2
Logo lambda=2 é raiz dupla.

Passo 4

Para lambda=2 resolvemos (A-2I)v=0:
-3&3-3&3v=0 ;Longrightarrow; v1=v2
Tomamos o autovetor
v^(1)=11

Passo 5

Como a multiplicidade algébrica é 2 mas há só um autovetor, buscamos o autovetor generalizado tal que
Escrevendo ,
Escolhendo obtemos

Passo 6

Para sistema defeituoso com valor próprio duplo, a solução geral é
X(t) =C1e^2t,v^(1) +C2e^2tl(t,v^(1)+wr)

Resposta

x(t)=(C1+C2,t)e^2t, y(t)=l(C1+C2,t+tfracC23r)e^2t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados