Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.
x+12-x<x3+x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
x+12-x < x3+x
Isto é um problema de inequação racional. Para resolvê-la, vamos ( 1) determinar o domínio, ( 2) reunir tudo num único lado formando uma fração só, ( 3) analisar o sinal dessa fração e ( 4) identificar os intervalos que satisfazem a desigualdade.

Passo 2

Levo tudo para o mesmo lado criando uma única fração negativa:
x+12-x - x3+x < 0
O denominador comum é (2-x)(3+x). Portanto a inequação passa a ser
(x+1)(3+x) ;-; x(2-x)(2-x)(3+x) < 0

Passo 3

Calculo o numerador da fração resultante:
(x+1)(3+x) - x(2-x) = l(x^2+4x+3r) - (2x - x^2) = 2x^2 + 2x + 3
Logo a inequação fica
2x^2 + 2x + 3(2-x)(3+x) < 0

Passo 4

Observo o numerador 2x^2+2x+3. O discriminante é
De<a = 2^2 - 4cdot2cdot3 = 4 - 24 = -20 < 0,
portanto 2x^2+2x+3>0 para todo x. Isso significa que o sinal da fração é o mesmo do denominador (2-x)(3+x).

Passo 5

Estudo onde (2-x)(3+x)<0. Os zeros desse produto ocorrem em x=2 e x=-3. Testando cada regi~ao:
  • Para x<-3: 2-x>0 e 3+x<0, produto <0.
  • Para -3<x<2: ambos fatores s~ao positivos, produto >0.
  • Para x>2: 2-x<0 e 3+x>0, produto <0.
    Logo a fra\cao negativa exatamente quando
xin(-infty,-3)cup(2,infty)

Passo 6

Na reta real marcamos círculos abertos em -3 e em 2, e sombreia-mos toda a região à esquerda de -3 e à direita de 2.

Resposta

(-infty,-3)cup(2,infty).

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