integral e^t sin (2 t) d t=

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral e^t sin(2t) , dt . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta muito útil quando temos o produto de duas funções. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos identificar partes da nossa integral que serão u e dv . No nosso caso, vamos escolher:
u = e^t e dv = sin(2t) , dt

Passo 3

Agora, vamos encontrar du e v . Derivando u e integrando dv :
du = ddt e^t , dt = e^t , dt
v = integral sin(2t) , dt = -12 cos(2t)

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral e^t sin(2t) , dt = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= e^t ( -12 cos(2t) ) - integral ( -12 cos(2t) ) e^t , dt
Simplificando:
= -12 e^t cos(2t) + 12 integral e^t cos(2t) , dt

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral integral e^t cos(2t) , dt . Vamos usar novamente a integração por partes. Desta vez, escolhemos:
u = e^t e dv = cos(2t) , dt
Encontrando du e v :
du = e^t , dt
v = integral cos(2t) , dt = 12 sin(2t)

Passo 6

Aplicando a integração por partes novamente:
integral e^t cos(2t) , dt = u , v - integral v , du
Substituindo:
= e^t ( 12 sin(2t) ) - integral 12 sin(2t) e^t , dt
Simplificando:
= 12 e^t sin(2t) - 12 integral e^t sin(2t) , dt

Passo 7

Vamos chamar a integral original de I = integral e^t sin(2t) , dt . Substituindo na equação anterior:
12 e^t sin(2t) - 12 I
Agora, volte para a equação do Passo 4:
I = -12 e^t cos(2t) + 12 ( 12 e^t sin(2t) - 12 I )
Simplificando:
I = -12 e^t cos(2t) + 14 e^t sin(2t) - 14 I

Passo 8

Agora, vamos resolver para I . Somamos 14 I em ambos os lados:
I + 14 I = -12 e^t cos(2t) + 14 e^t sin(2t)
54 I = -12 e^t cos(2t) + 14 e^t sin(2t)
Multiplicando ambos os lados por 45 :
I = -25 e^t cos(2t) + 15 e^t sin(2t) + C

Resposta

integral e^t sin(2t) , dt = e^t5 ( sin(2t) - 2 cos(2t) ) + C

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