(I) Ao determinar todos os primos entre 2 e 143 utilizando o crivo de Eratóstenes, o primeiro momento em que podemos ter certeza de que todos os números não riscados já são primos ocorre após riscarmos os múltiplos dos primos
tais que:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(II) Considere as seguintes equações diofantinas:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
É correto afirmar que:
(a) Apenas (i), (ii) e (iii) possuem solução.
(b) Apenas (i), (ii) e (iv) possuem solução.
(c) Apenas (i), (iii) e (iv) possuem solução.
(d) Apenas (ii), (iii) e (iv) possuem solução.
(e) Nenhuma das opções anteriores.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(II) Considere as seguintes equações diofantinas:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(a) Apenas (i), (ii) e (iii) possuem solução.
(b) Apenas (i), (ii) e (iv) possuem solução.
(c) Apenas (i), (iii) e (iv) possuem solução.
(d) Apenas (ii), (iii) e (iv) possuem solução.
(e) Nenhuma das opções anteriores.
Passo 1
Beleza, o exercício tem dois “pernadas” de teoria de números:
I) Sobre o crivo de Eratóstenes para achar todos os primos entre 2 e 143. A pergunta é: depois de riscarmos os múltiplos de quais primos a gente já pode garantir que todo número não riscado é primo?
II) Quatro equações diofantinas (equações lineares ) e precisamos descobrir quais têm solução inteira.
I) Sobre o crivo de Eratóstenes para achar todos os primos entre 2 e 143. A pergunta é: depois de riscarmos os múltiplos de quais primos
II) Quatro equações diofantinas (equações lineares
O que vamos usar:
- Para o crivo, a ideia de que basta riscar múltiplos de primos até
. - Para as diofantinas, o fato de que
tem solução inteira se e só se divide .
Passo 2
Resolvendo a parte I (Crivo de Eratóstenes)
- A regra básica é: para determinar todos os primos até
, a gente só precisa riscar múltiplos dos primos com . - Aqui
, então . - Isso significa que já basta riscar múltiplos de todos os primos
.
Logo a resposta para I) é a opção (d):.
Passo 3
Resolvendo a parte II (Equações diofantinas)
Regra: a equação tem solução inteira
.
Vamos cada uma:
(i)
Regra: a equação
Vamos cada uma:
(i)
-
e . Então tem solução.
(ii)
-
e . Então tem solução.
(iii)
-
e . Então NÃO tem solução.
(iv)
-
e . Então tem solução.
Só (i), (ii) e (iv) funcionam, ou seja, alternativa (b).
Resposta
I) (d)
II) (b)
II) (b)