1. Inequações com módulo

  • Resolva: |2 x-3| <=|2-x|
  • Resolva: 3-xx+2 <= 1x+2
  • Resolva: |x-4|>2
  • Resolva: |x+1| <= 3
  • Resolva: |x-2|-|x+1|>0
  • Resolva: x-63-x >= 0
  • Resolva: |3 x+1|>5
  • Resolva: |x-1| <= 2 x-1
  • Resolva: 1x<x
  • Resolva: x^2-5 x+6<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver dez inequações envolvendo valor absoluto, frações algébricas e inequações polinomiais. Vamos usar definição de valor absoluto e análise de sinal (ou “método do gráfico de sinais”) para frações, além de fatoração de polinômios.

Passo 2

Resolvendo lvert 2x - 3rvert <= lvert 2 - xrvert. Note que lvert 2 - xrvert=lvert x-2rvert. Elevando ao quadrado (válido porque ambos os lados são não negativos),
(2x-3)^2 <= (x-2)^2
4x^2 -12x+9 <= x^2 -4x+4
3x^2 -8x+5 <= 0
O discriminante é De<a =(-8)^2-4cdot3cdot5=64-60=4, raízes em x=1 e x=tfrac53. A parábola abre para cima, logo a região onde <=0 é o intervalo fechado entre as raízes:
xin [1,tfrac53]

Passo 3

Resolvendo 3-xx+2<= 1x+2. Subtraindo 1x+2 de ambos os lados,
3-xx+2-1x+2<= 0 Longrightarrow 2-xx+2<= 0
Isso equivale a
x-2x+2>= 0
Os zeros e polos são x=2 (zera o numerador) e x=-2 (indetermina o denominador). Pelo gráfico de sinais, x-2x+2>=0 em
(-infty,-2)cup[2,infty),
excluindo x=-2.

Passo 4

Resolvendo lvert x-4rvert>2. Por definição,
x-4>2ou x-4< -2,
isto é,
x>6ou x<2
Solução:
(-infty,2)cup(6,infty)

Passo 5

Resolvendo lvert x+1rvert<=3. Por definição,
-3<= x+1<=3 Longrightarrow -4<= x<=2

Passo 6

Resolvendo lvert x-2rvert - lvert x+1rvert>0, ou seja lvert x-2rvert> lvert x+1rvert. Elevando ao quadrado,
(x-2)^2>(x+1)^2 Longrightarrow x^2-4x+4>x^2+2x+1 Longrightarrow -6x> -3 Longrightarrow x<tfrac12
Assim a solução é
(-infty,tfrac12)

Passo 7

Resolvendo x-63-x>=0. Observe 3-x=-(x-3), então
x-63-x>=0 Long<=ftrightarrow -x-6x-3>=0 Long<=ftrightarrow x-6x-3<=0
Zeros e polos em x=6 e x=3. Pelo gráfico de sinais, x-6x-3<=0 em
(3,6],
excluindo x=3.

Passo 8

Resolvendo lvert 3x+1rvert>5. Por definição,
3x+1>5Rightarrow x>tfrac43,
ou
3x+1< -5Rightarrow x< -2
Solução:
(-infty,-2)cup(tfrac43,infty)

Passo 9

Resolvendo lvert x-1rvert<= 2x-1. Primeiro impomos 2x-1>=0Rightarrow x>=tfrac12. Para esses x, elevamos ao quadrado:
(x-1)^2<=(2x-1)^2 Longrightarrow x^2-2x+1<=4x^2-4x+1 Longrightarrow 3x^2-2x>=0 Longrightarrow x(3x-2)>=0
que dá x<=0 ou x>=23. Juntando com x>=tfrac12, resta
x>=tfrac23

Passo 10

Resolvendo 1x<x. Analisamos dois casos:
  1. x>0: multiplicando por x>0 não invertemos sinal, 1<x^2, ou seja x>1.
  2. x<0: multiplicando por x<0 invertemos sinal, 1>x^2, ou seja -1<x<1, intersectando com x<0 -1<x<0.
Portanto
(-1,0)cup(1,infty)

Passo 11

Resolvendo x^2-5x+6<0. Fatorando,
x^2-5x+6=(x-2)(x-3)<0,
então x está estritamente entre 2 e 3:
(2,3)

Resposta

  1. [1,tfrac53]
  2. (-infty,-2)cup[2,infty)
  3. (-infty,2)cup(6,infty)
  4. [-4,2]
  5. (-infty,tfrac12)
  6. (3,6]
  7. (-infty,-2)cup(tfrac43,infty)
  8. [tfrac23,infty)
  9. (-!1,0)cup(1,infty)
  10. (2,3)

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