Integre a seguinte função tanto analiticamente como numericamente. Use as regras do trapézio e 1 / 3 de Simpson para integrar numericamente. Para ambos os casos, utilize a forma repetida com n=4. Calcule os erros relativos para os resultados numéricos.
integral0^3 x^2 e^x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral
integral0^3 x^2e^x,dx
de duas formas:
– Analiticamente, encontrando a primitiva e avaliando de 0 a 3.
– Numericamente, usando a regra composta do trapézio e a regra composta de 1/3 de Simpson com n=4.
Além disso, calcular os erros relativos dos resultados numéricos em relação ao valor exato.

Passo 2

Para a solução analítica, usamos integração por partes duas vezes. Seja
I=integral x^2e^x,dx
Tomamos u=x^2, dv=e^xdx, logo du=2x,dx, v=e^x.
I = x^2e^x - integral 2x,e^x,dx
Na segunda integral, faça nova partes com u=2x, dv=e^xdx, obtendo
integral 2x,e^x,dx = 2x e^x - 2e^x + C
Logo
integral x^2e^x,dx = e^xl(x^2-2x+2r) + C
A integral definida é
[e^xl(x^2-2x+2r)]0^3 = e^3(9-6+2);-;e^0(0-0+2) =5e^3-2

Passo 3

Trapézio composto com n=4.
O passo é h=(3-0)/4=0,75. Os nós são
x0=0,;x1=0,75,;x2=1,5,;x3=2,25,;x4=3
e f(x)=x^2e^x. Calculando:
f0=0,; f1approx1,190813,; f2approx10,083800,; f3approx48,031679,; f4approx180,769832
A fórmula composta do trapézio é
T=h2l(f0+2(f1+f2+f3)+f4r) approx0,375l(0+2cdot59,306293+180,769832r) approx112,268406
Erro relativo:
l|T-(5e^3-2)r|5e^3-2 approx112,268406-98,42768598,427685 approx0,1406;(14,06%)

Passo 4

Simpson composto (regra 1/3) com n=4. Mesmo h=0,75 e mesmos fi. A fórmula é
S=h3l(f0+4f1+2f2+4f3+f4r) approx0,25l(0+4cdot1,190813+2cdot10,083800+4cdot48,031679+180,769832r) approx99,456850
Erro relativo:
l|S-(5e^3-2)r|5e^3-2 approx99,456850-98,42768598,427685 approx0,01045;(1,045%)

Resposta

Integral exata:
integral0^3x^2e^x,dx = 5e^3-2 approx98,42768462
Trapézio composto ( n=4):
Tapprox112,268406,erro relativoapprox14,06%
Simpson composto ( n=4):
Sapprox99,456850,erro relativoapprox1,045%

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