Questão As seguintes séries e sequências são convergentes ou divergentes? Justifique suas respostas.
(k^nn!), k>1

Passo 1

Deixa eu resumir: o enunciado quer saber se a sequência tfrack^nn! pra k>1 converge ou diverge. O conteúdo aqui é limites de sequências e a gente vai usar o teste da razão (ou pensar no crescimento de exponenciais versus fatoriais).

Passo 2

Pra começar, define o termo geral da sequência: an = tfrack^nn!. Lembra que k^n cresce exponencialmente e n! cresce multiplicando todos os números até n, o que dá um crescimento ainda mais rápido.

Passo 3

Agora aplica o teste da razão, ou seja, calcula a razão entre dois termos consecutivos:
an+1an = tfrack^n+1(n+1)!tfrack^nn!
Depois a gente simplifica isso aí.

Passo 4

Vamos simplificar:
an+1an = k^n+1(n+1)! cdot n!k^n = kn+1
Então a razão entre termos sucessivos é tfrackn+1.

Passo 5

Quando n cresce, tfrackn+1 tende a zero. Isto é,
limntoinfty an+1an = 0
Como esse limite é menor que 1, o teste da razão garante que a sequência converge.

Passo 6

Intuitivamente também dá pra ver que n! cresce muito mais rápido que k^n, então a fração fica cada vez menor e tende a zero.

Resposta

A sequência converge e o limite é 0.

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