Questão As seguintes séries e sequências são convergentes ou divergentes? Justifique suas respostas.
Passo 1
Deixa eu resumir: o enunciado quer saber se a sequência
pra
converge ou diverge. O conteúdo aqui é limites de sequências e a gente vai usar o teste da razão (ou pensar no crescimento de exponenciais versus fatoriais).
Passo 2
Pra começar, define o termo geral da sequência:
. Lembra que
cresce exponencialmente e
cresce multiplicando todos os números até
, o que dá um crescimento ainda mais rápido.
Passo 3
Agora aplica o teste da razão, ou seja, calcula a razão entre dois termos consecutivos:
Depois a gente simplifica isso aí.
Passo 4
Vamos simplificar:
Então a razão entre termos sucessivos é
.
Passo 5
Quando
cresce,
tende a zero. Isto é,
Como esse limite é menor que 1, o teste da razão garante que a sequência converge.
Passo 6
Intuitivamente também dá pra ver que
cresce muito mais rápido que
, então a fração fica cada vez menor e tende a zero.
Resposta
A sequência converge e o limite é 0.