Questão As seguintes séries e sequências são convergentes ou divergentes? Justifique suas respostas.
sumn=1^+infty(12025 n+12025^n)

Passo 1

Nesse exercício temos a série sumn=1^+inftyl(tfrac12025,n+tfrac12025^nr). O conteúdo aqui é teste de convergência de séries infinitas e vamos precisar separar a soma em duas partes para analisar cada uma.

Passo 2

Primeiro, a gente reescreve a série como a soma de duas séries separadas:

Passo 3

sumn=1^+inftyl(tfrac12025n+tfrac12025^nr) =sumn=1^+inftytfrac12025n+sumn=1^+inftytfrac12025^n

Passo 4

Agora, analiso a primeira parte sumn=1^+inftytfrac12025n. Como ela é tfrac12025 vezes a série harmônica sumn=1^+inftytfrac1n, e a série harmônica é um caso-p com p=1 que diverge, concluímos que essa parte diverge.

Passo 5

Em seguida, olho a segunda parte sumn=1^+inftytfrac12025^n. Isso é uma série geométrica com primeiro termo a=tfrac12025 e razão r=tfrac12025. Como |r|<1, ela converge. O valor da soma é

Passo 6

sumn=1^+inftytfrac12025^n= rac1/20251-1/2025= rac12024

Passo 7

Por fim, como a soma de uma série divergente com qualquer outra série (mesmo que ela seja convergente) resulta em divergência, concluímos que a série original diverge.

Resposta

Divergente

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