São dados três vectores A=(2,4,-7), B=(2,6,3) e C=(3,4,-5). Em cada uma das expressões seguintes existe uma e uma só maneira de inserir os parêntesis de modo a obter expressões providas de significado. Inserir os parêntesis e efetuar as operações indicadas.
A B \cdot C;

Passo 1

O enunciado dá os vectores
A = (2,4,-7),\quad B = (2,6,3),\quad C = (3,4,-5)
e pede para inserir parênteses em
A B \cdot C
de forma a obter uma expressão bem definida. O conteúdo aqui é o produto misto de três vectores, que envolve um produto vetorial e um produto escalar.

Passo 2

Para que o resultado seja um escalar, primeiro devemos fazer um produto vetorial entre dois vectores (isto gera um vetor) e depois o produto escalar com o terceiro. Não faz sentido calcular A\cdot B e depois “.C”, pois isso daria um escalar vezes vetor seguido de produto escalar indefinido. A única forma válida é
(A \times B)\cdot C.

Passo 3

Calcular o produto vetorial A\times B. Pelas componentes:
A\times B = \bigl( 4\cdot3 - (-7)\cdot6,\; -\bigl(2\cdot3 - (-7)\cdot2\bigr),\; 2\cdot6 - 4\cdot2 \bigr).
Logo,
A\times B = (12 + 42,\; - (6 + 14),\;12 - 8) = (54,-20,4).

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar de (A\times B) com C:
(A\times B)\cdot C = (54,-20,4)\cdot(3,4,-5) = 54\cdot3 + (-20)\cdot4 + 4\cdot(-5).
Calculando:
54\cdot3 = 162,\quad -20\cdot4 = -80,\quad 4\cdot(-5) = -20,
portanto
(A\times B)\cdot C = 162 - 80 - 20 = 62.

Resposta

62

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