Escrever o vetor normal principal das seguintes curvas no ponto dado:
c)
.
c)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado pede. Temos a curva paramétrica e queremos encontrar o vetor normal principal nesse ponto específico onde
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como vetor tangente e vetor normal da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor derivada da posição
, que nos dará o vetor tangente. Derivando cada componente em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a unidade do vetor tangente
. Isso é feito normalizando
, ou seja, dividindo
pela sua norma:
Primeiro, calculamos a norma de
:
Como , simplificamos:
Então,
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar a derivada do vetor tangente
:
Passo 5
O vetor normal principal
é obtido normalizando
:
Calculando a norma de
:
Então,
Passo 6
Finalmente, substituímos
na expressão de
:
Resposta
O vetor normal principal no ponto dado é
.