Escrever o vetor normal principal das seguintes curvas no ponto dado:
c) r(t) = (4 cos(t), 4 sen(t), t) ; t = pi/2.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado pede. Temos a curva paramétrica e queremos encontrar o vetor normal principal nesse ponto específico onde . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como vetor tangente e vetor normal da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor derivada da posição , que nos dará o vetor tangente. Derivando cada componente em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a unidade do vetor tangente . Isso é feito normalizando , ou seja, dividindo pela sua norma:
Primeiro, calculamos a norma de :
Como , simplificamos:
Então,

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar a derivada do vetor tangente :

Passo 5

O vetor normal principal é obtido normalizando :
Calculando a norma de :
Então,

Passo 6

Finalmente, substituímos na expressão de :

Resposta

O vetor normal principal no ponto dado é .

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