Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
§ y' = cos^2(x) * cos^2(2y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de variáveis separáveis: . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com equações que permitem separar as variáveis e para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a derivada como . Assim, a equação fica:
Nosso objetivo é separar as variáveis e de lados opostos da equação para poder integrar.

Passo 3

Vamos dividir ambos os lados por para isolar de um lado:
Agora temos as variáveis separadas: de um lado e do outro.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados. Para o lado esquerdo, sabemos que , e a integral de em relação a é . Então:
Para o lado direito, usamos a identidade que diz que . Integrando:

Passo 5

Agora, igualamos as integrais dos dois lados:
Podemos simplificar juntando as constantes e em uma única constante :

Passo 6

Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
Finalmente, podemos isolar aplicando a função arco-tangente e dividindo por 2:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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