Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
§
§
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de variáveis separáveis:
. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com equações que permitem separar as variáveis
e
para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a derivada
como
. Assim, a equação fica:
Nosso objetivo é separar as variáveis
e
de lados opostos da equação para poder integrar.
Passo 3
Vamos dividir ambos os lados por
para isolar
de um lado:
Agora temos as variáveis separadas:
de um lado e
do outro.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados. Para o lado esquerdo, sabemos que
, e a integral de
em relação a
é
. Então:
Para o lado direito, usamos a identidade que diz que
. Integrando:
Passo 5
Agora, igualamos as integrais dos dois lados:
Podemos simplificar juntando as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 6
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
Finalmente, podemos isolar
aplicando a função arco-tangente e dividindo por 2:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.