Determinar as trajetórias ortogonais às curvas.
y^2=2 p(x-a)

Passo 1

Neste exercício temos a família de curvas definida por y^2 = 2p(x - a), em que p é o parâmetro. Vamos encontrar as trajetórias ortogonais a essa família usando diferenciação implícita e a condição de perpendicularidade.

Passo 2

Derivando implicitamente em relação a x a equação y^2 = 2p(x - a), obtemos:
2y dydx = 2p
Logo,
dydx = py
Substituindo p = y^22(x - a) da equação original:
dydx = y2(x - a)

Passo 3

Para as trajetórias ortogonais, o coeficiente angular m2 deve satisfazer m1 cdot m2 = -1, onde m1 = y2(x - a). Assim:
dydx = m2 = -1m1 = -2(x - a)y

Passo 4

A equação diferencial ortogonal dydx = -2(x - a)y é separável. Separamos as variáveis:
y , dy = -2(x - a) , dx
e integramos:
integral y,dy = integral -2(x - a),dx
obtendo
y^22 = -x^2 + 2ax + C

Passo 5

Multiplicando por 2 e reorganizando a constante geral K, temos a família de trajetórias ortogonais:
y^2 = -2x^2 + 4ax + C' Longrightarrow 2x^2 - 4ax + y^2 = K

Resposta

A família de trajetórias ortogonais é dada pela equação
2x^2 - 4ax + y^2 = K,
com K constante arbitrária.

Exercícios relacionados