Determinar as trajetórias ortogonais às curvas.
Passo 1
Neste exercício temos a família de curvas definida por
, em que
é o parâmetro. Vamos encontrar as trajetórias ortogonais a essa família usando diferenciação implícita e a condição de perpendicularidade.
Passo 2
Derivando implicitamente em relação a
a equação
, obtemos:
Logo,
Substituindo
da equação original:
Passo 3
Para as trajetórias ortogonais, o coeficiente angular
deve satisfazer
, onde
. Assim:
Passo 4
A equação diferencial ortogonal
é separável. Separamos as variáveis:
e integramos:
obtendo
Passo 5
Multiplicando por 2 e reorganizando a constante geral
, temos a família de trajetórias ortogonais:
Resposta
A família de trajetórias ortogonais é dada pela equação
com