Determinar se T: M2 times 2(R) R é uma transformação linear:
T([lla & b c & d])=b+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
T:M2times 2(R)toR, Tl(a & b[4pt]c & dr)=b+c
é linear. O conteúdo utilizado será a definição de transformação linear, que exige checar aditividade e homogeneidade.]

Passo 2

Sejam
X=a & b[4pt]c & d e Y=a' & b'[4pt]c' & d'
duas matrizes arbitrárias em M2times 2(R). Então
X+Y =a+a' & b+b'[4pt]c+c' & d+d' ]

Passo 3

Aplicando T à soma, temos
T(X+Y)=(b+b')+(c+c')=b+b'+c+c'
Por outro lado,
T(X)+T(Y)=(b+c)+(b'+c')=b+b'+c+c'
Logo
T(X+Y)=T(X)+T(Y),
o que prova a aditividade.

Passo 4

Para a homogeneidade, seja lambdainR. Então
lambda X =lambda a & lambda b[4pt]lambda c & lambda d,
e
T(lambda X)=lambda b+lambda c=lambda,(b+c)=lambda,T(X)
Isto demonstra a homogeneidade.]

Passo 5

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

Sim, T é linear.

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