Nos itens a seguir, determine
T]_{\beta}^{\alpha}\). \(T: R^{3} \rightarrow R^{2} ; \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}, 3 \mathrm{x}+\mathrm{y}-2 \mathrm{z})\) com \(\alpha\) base canônica do \(\mathrm{R}^{3} \mathrm{e} \beta=\{(1,0),(1,1)\}).\

Passo 1

O enunciado pede para determinar [T]_{\beta}^{\alpha}. As informações dadas são:
T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2},\qquad T(x,y,z)=(2x-y+z,\;3x+y-2z),
a base \alpha é a base canônica de \mathbb{R}^{3} (ou seja, os vetores \,e_{1}=(1,0,0),\;e_{2}=(0,1,0),\;e_{3}=(0,0,1)\,) e
\beta=\{(1,0),(1,1)\}.

Passo 2

Vou explicar o que significa [T]_{\beta}^{\alpha} (sem usar jargão pesado): é a matriz que representa a transformação linear T quando os vetores do domínio são escritos na base \alpha e os vetores do contradomínio são escritos na base \beta. Na prática, isso significa:
  • calcular T aplicado a cada vetor da base \alpha (ou seja, T(e_{1}),T(e_{2}),T(e_{3}));
  • escrever cada resultado como combinação linear dos vetores da base \beta;
  • colocar as coordenadas (os coeficientes dessa combinação) como colunas, na ordem e_{1},e_{2},e_{3}.

Passo 3

Anotando explicitamente os vetores da base canônica:
e_{1}=(1,0,0),\qquad e_{2}=(0,1,0),\qquad e_{3}=(0,0,1).

Passo 4

Calcular T(e_{1}). Substituo (x,y,z)=(1,0,0) na definição de T:
T(1,0,0)=(2\cdot1-0+0,\;3\cdot1+0-2\cdot0)=(2,3).

Passo 5

Calcular T(e_{2}). Substituo (x,y,z)=(0,1,0):
T(0,1,0)=(2\cdot0-1+0,\;3\cdot0+1-2\cdot0)=(-1,1).

Passo 6

Calcular T(e_{3}). Substituo (x,y,z)=(0,0,1):
T(0,0,1)=(2\cdot0-0+1,\;3\cdot0+0-2\cdot1)=(1,-2).

Passo 7

Agora preciso escrever cada um desses vetores em coordenadas da base \beta. Note que os vetores de \beta são
v_{1}=(1,0),\qquad v_{2}=(1,1).
Qualquer vetor (u_{1},u_{2})\in\mathbb{R}^{2} pode ser escrito como combinação a\,v_{1}+b\,v_{2}. Calculando:
a\,v_{1}+b\,v_{2}=a(1,0)+b(1,1)=(a+b,\;b).
Para que (a+b,b)=(u_{1},u_{2}) valha, devemos ter
b=u_{2},\qquad a=u_{1}-b=u_{1}-u_{2}.
Logo as coordenadas de (u_{1},u_{2}) na base \beta são (a,b)=(u_{1}-u_{2},\;u_{2}).

Passo 8

Aplicando essa regra a T(e_{1})=(2,3): temos u_{1}=2,\;u_{2}=3. Então
b=3,\qquad a=2-3=-1.
Portanto as coordenadas de T(e_{1}) em \beta são (-1,3).

Passo 9

Para T(e_{2})=(-1,1): u_{1}=-1,\;u_{2}=1. Logo
b=1,\qquad a=-1-1=-2.
As coordenadas de T(e_{2}) em \beta são (-2,1).

Passo 10

Para T(e_{3})=(1,-2): u_{1}=1,\;u_{2}=-2. Então
b=-2,\qquad a=1-(-2)=3.
As coordenadas de T(e_{3}) em \beta são (3,-2).

Passo 11

A matriz [T]_{\beta}^{\alpha} tem as colunas dadas pelas coordenadas de T(e_{1}),T(e_{2}),T(e_{3}) em \beta, nesta ordem. Assim a matriz é
[T]_{\beta}^{\alpha}= \begin{pmatrix} -1 & -2 & 3\\[4pt] 3 & 1 & -2 \end{pmatrix}.]

Resposta

[T]_{\beta}^{\alpha}= \begin{pmatrix} -1 & -2 & 3\\[4pt] 3 & 1 & -2 \end{pmatrix}]

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