Nos itens a seguir, determine
Passo 1
O enunciado pede para determinar
. As informações dadas são:
a base
é a base canônica de
(ou seja, os vetores
) e
Passo 2
Vou explicar o que significa
(sem usar jargão pesado): é a matriz que representa a transformação linear
quando os vetores do domínio são escritos na base
e os vetores do contradomínio são escritos na base
. Na prática, isso significa:
- calcular
aplicado a cada vetor da base (ou seja, ); - escrever cada resultado como combinação linear dos vetores da base
; - colocar as coordenadas (os coeficientes dessa combinação) como colunas, na ordem
.
Passo 3
Anotando explicitamente os vetores da base canônica:
Passo 4
Calcular
. Substituo
na definição de
:
Passo 5
Calcular
. Substituo
:
Passo 6
Calcular
. Substituo
:
Passo 7
Agora preciso escrever cada um desses vetores em coordenadas da base
. Note que os vetores de
são
Qualquer vetor
pode ser escrito como combinação
. Calculando:
Para que
valha, devemos ter
Logo as coordenadas de
na base
são
.
Passo 8
Aplicando essa regra a
: temos
. Então
Portanto as coordenadas de
em
são
.
Passo 9
Para
:
. Logo
As coordenadas de
em
são
.
Passo 10
Para
:
. Então
As coordenadas de
em
são
.
Passo 11
A matriz
tem as colunas dadas pelas coordenadas de
em
, nesta ordem. Assim a matriz é