Resolva o sistema abaixo, utilizando a Regra de Cramer.
c x+2 y=5 2 x-y+3 z=-3 y+z=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a Regra de Cramer. O sistema que temos é:
c x + 2y = 5 2x - y + 3z = -3 y + z = 1
A Regra de Cramer é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares usando determinantes de matrizes. Para isso, precisamos montar a matriz dos coeficientes e calcular alguns determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes das variáveis em cada equação. Reescrevendo o sistema:
1x + 2y + 0z = 5 2x - 1y + 3z = -3 0x + 1y + 1z = 1
Aqui, os coeficientes são:
  • Para x : 1, 2, 0
  • Para y : 2, -1, 1
  • Para z : 0, 3, 1

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz dos coeficientes A :
A = 1 & 2 & 0 2 & -1 & 3 0 & 1 & 1
Para aplicar a Regra de Cramer, precisamos calcular o determinante dessa matriz D .

Passo 4

Vamos calcular o determinante D da matriz A :
D = 1 & 2 & 0 2 & -1 & 3 0 & 1 & 1
Usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores, temos:
D = 1 cdot (-1 cdot 1 - 3 cdot 1) - 2 cdot (2 cdot 1 - 3 cdot 0) + 0 cdot (2 cdot 1 - (-1) cdot 0) D = 1 cdot (-1 - 3) - 2 cdot 2 + 0 D = -4 - 4 D = -8

Passo 5

Agora, vamos encontrar os determinantes substitutos para cada variável.
Determinante Dx : substituímos a coluna de x pelos termos constantes (5, -3, 1):
Dx = 5 & 2 & 0 -3 & -1 & 3 1 & 1 & 1
Calculando:
Dx = 5 cdot (-1 cdot 1 - 3 cdot 1) - 2 cdot (-3 cdot 1 - 3 cdot 1) + 0 Dx = 5 cdot (-4) - 2 cdot (-6) Dx = -20 + 12 Dx = -8
Determinante Dy : substituímos a coluna de y pelos termos constantes:
Dy = 1 & 5 & 0 2 & -3 & 3 0 & 1 & 1
Calculando:
Dy = 1 cdot (-3 cdot 1 - 3 cdot 1) - 5 cdot (2 cdot 1 - 3 cdot 0) + 0 Dy = 1 cdot (-6) - 5 cdot 2 Dy = -6 - 10 Dy = -16
Determinante Dz : substituímos a coluna de z pelos termos constantes:
Dz = 1 & 2 & 5 2 & -1 & -3 0 & 1 & 1
Calculando:
Dz = 1 cdot (-1 cdot 1 - (-3) cdot 1) - 2 cdot (2 cdot 1 - (-3) cdot 0) + 5 cdot (2 cdot 1 - (-1) cdot 0) Dz = 1 cdot (2) - 2 cdot 2 + 5 cdot 2 Dz = 2 - 4 + 10 Dz = 8

Passo 6

Agora, aplicamos a Regra de Cramer para encontrar cada variável:
x = DxD = -8-8 = 1
y = DyD = -16-8 = 2
z = DzD = 8-8 = -1

Resposta

A solução do sistema é x = 1 , y = 2 e z = -1 .

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