Determinar a transformada de Fourier de x(t)=e^-t / 2 e esboce:
|X(omega)|

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de x(t)=e^-t/2. Na prática, assumimos que essa função vale zero para t<0, ou seja, x(t)=e^-t/2u(t). O conteúdo aqui é o uso da definição da transformada de Fourier de sinais contínuos.

Passo 2

Escrevemos a definição da transformada de Fourier:
X(omega)=integral-infty^inftyx(t)e^-jomega t,dt
Como x(t)=0 para t<0, o integral vira
X(omega)=integral0^inftye^-t/2,e^-jomega t,dt

Passo 3

Combinamos os exponenciais:
e^-t/2,e^-jomega t=e^-tl(tfrac12 +jomegar)
Logo
X(omega)=integral0^inftye^-tl(tfrac12 +jomegar),dt
Esse é um integral exponencial padrão, cuja condição de convergência é Re(tfrac12 +jomega)>0, satisfeita.

Passo 4

Avaliando o integral:
integral0^inftye^-at,dt=1a(Re(a)>0)
Aqui a=tfrac12 +jomega, então
X(omega)=1tfrac12 +jomega

Passo 5

Para esboçar o módulo, calculamos
l|X(omega)r| =1l|tfrac12 +jomegar| =1raizl(tfrac12r)^2+omega^2
Isso é uma curva em forma de pico centrado em omega=0, que decai como 1/|omega| para |omega|toinfty.

Resposta

X(omega)=1tfrac12 +jomega, l|X(omega)r|=1raizl(tfrac12r)^2+omega^2

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