Encontre os pontos da curva nos quais a reta tangente é horizontal ou vertical.
x=t^3-3 t, y=t^3-3

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x=t^3-3t, y=t^3-3
e pede os pontos em que a reta tangente é horizontal ou vertical. Vamos usar derivadas paramétricas:
– reta horizontal se dydt=0 e dxdtneq0.
– reta vertical se dxdt=0 e dydtneq0.

Passo 2

Calculamos as derivadas em relação a t:
dxdt=3t^2-3, dydt=3t^2
A inclinação da tangente é
dydx=dy/dtdx/dt

Passo 3

Para tangente horizontal, exigimos
dydt=0implies3t^2=0implies t=0,
e verificamos
dxdt(0)=3cdot0^2-3=-3neq0,
logo há tangente horizontal em t=0.

Passo 4

O ponto correspondente é
x(0)=0^3-3cdot0=0, y(0)=0^3-3=-3,
ou seja (0,-3).

Passo 5

Para tangente vertical, exigimos
dxdt=0implies3t^2-3=0implies t^2=1implies t=pm1,
e checamos
dydt(pm1)=3cdot1=3neq0,
logo há tangente vertical em t=1 e t=-1.

Passo 6

Calculamos os pontos:
para t=1:
x(1)=1^3-3cdot1=-2, y(1)=1^3-3=-2,
para t=-1:
x(-1)=(-1)^3-3(-1)=2, y(-1)=(-1)^3-3=-4

Resposta

Ponto de tangente horizontal: (0,-3).
Pontos de tangente vertical: (-2,-2) e (2,-4).

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