Verifique que
é uma solução para a equação diferencial não-linear
no intervalo
. Além disso, mostre que um múltiplo
não é uma solução para a equação quando
-1 .
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial não-linear dada por
. A gente precisa primeiro verificar se a função
resolve essa equação no intervalo
. Depois, vamos ver se a função
, onde
é uma constante diferente de 0, 1 e -1, também resolve a equação. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função e substituir na equação original.
Passo 2
Vamos começar verificando se
é uma solução. Primeiro, precisamos achar a primeira e a segunda derivada dessa função.
A primeira derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
:
Passo 4
Com a segunda derivada em mãos, substituímos
e
na equação diferencial
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Vemos que os dois lados da equação são iguais:
Isso confirma que
realmente satisfaz a equação diferencial dada.
Passo 6
Agora, vamos verificar se a função
, com
, também é solução da equação
.
Primeiro, calculamos a primeira derivada:
Passo 7
Em seguida, a segunda derivada:
Passo 8
Substituímos
e
na equação diferencial:
Simplificando o lado direito:
Passo 9
Comparando os dois lados da equação:
Para que isso seja verdade, precisamos que:
Dividindo ambos os lados por 2c (considerando
):
Isso implica que
ou
. Como estamos considerando
e
, a igualdade não se sustenta.
Resposta
A função
é realmente uma solução da equação diferencial
no intervalo
. Além disso, qualquer múltiplo da forma
não resolve a equação quando
,
e
.