Verifique que y=1 / x é uma solução para a equação diferencial não-linear y^prime prime=2 y^3 no intervalo (0, infty). Além disso, mostre que um múltiplo y=c / x não é uma solução para a equação quando c neq 0, c neq 1, c neq -1 .

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial não-linear dada por y'' = 2y^3 . A gente precisa primeiro verificar se a função y = 1x resolve essa equação no intervalo (0, infty) . Depois, vamos ver se a função y = cx , onde c é uma constante diferente de 0, 1 e -1, também resolve a equação. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função e substituir na equação original.

Passo 2

Vamos começar verificando se y = 1x é uma solução. Primeiro, precisamos achar a primeira e a segunda derivada dessa função.
A primeira derivada de y em relação a x é:
y' = ddx(1x) = -1x^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de y :
y'' = ddx(-1x^2) = 2x^3

Passo 4

Com a segunda derivada em mãos, substituímos y e y'' na equação diferencial y'' = 2y^3 :
2x^3 = 2(1x)^3
Simplificando o lado direito:
2(1x)^3 = 2(1x^3) = 2x^3

Passo 5

Vemos que os dois lados da equação são iguais:
2x^3 = 2x^3
Isso confirma que y = 1x realmente satisfaz a equação diferencial dada.

Passo 6

Agora, vamos verificar se a função y = cx , com c neq 0, c neq 1, c neq -1 , também é solução da equação y'' = 2y^3 .
Primeiro, calculamos a primeira derivada:
y' = ddx(cx) = -cx^2

Passo 7

Em seguida, a segunda derivada:
y'' = ddx(-cx^2) = 2cx^3

Passo 8

Substituímos y e y'' na equação diferencial:
2cx^3 = 2(cx)^3
Simplificando o lado direito:
2(cx)^3 = 2(c^3x^3) = 2c^3x^3

Passo 9

Comparando os dois lados da equação:
2cx^3 = 2c^3x^3
Para que isso seja verdade, precisamos que:
2c = 2c^3
Dividindo ambos os lados por 2c (considerando c neq 0 ):
1 = c^2
Isso implica que c = 1 ou c = -1 . Como estamos considerando c neq 1 e c neq -1 , a igualdade não se sustenta.

Resposta

A função y = 1x é realmente uma solução da equação diferencial y'' = 2y^3 no intervalo (0, infty) . Além disso, qualquer múltiplo da forma y = cx não resolve a equação quando c neq 0 , c neq 1 e c neq -1 .

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