Determinar a transformada de Fourier de x(t)=e^-t / 2 e esboce:
ang<= X(omega)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de x(t)=e^{-t/2} (supondo t≥0) e o esboço de sua fase. O conteúdo envolve definição integral da transformada de Fourier de sinais exponenciais e representação em forma polar para extrair a fase.

Passo 2

Queremos calcular X(ω)=∫_{0}{∞}e{-t/2}e^{-jωt}dt. Aqui usamos a fórmula de integração de exponencial complexa: se α>0 então ∫_{0}{∞}e{-αt}dt=1/α.
No nosso caso α=1/2+jω. Logo
X(ω)=integral0^∞e^-(1/2+jω)tdt=11/2+jω

Passo 3

Para obter a fase escrevemos 1/(1/2+jω) em forma polar. Primeiro note o ângulo do denominador é φ_d=\arctan(ω/(1/2))=\arctan(2ω). Como estamos tomando o recíproco, a fase inverte de sinal.
Portanto a fase de X(ω) é
ang<= X(ω)=-arctan(2ω)

Passo 4

Ao esboçar, lembramos que \arctan(2ω) varia de -π/2 a π/2 quando ω vai de -∞ a +∞. Assim -\arctan(2ω) varia de π/2 (em ω→-∞) decrescendo para 0 em ω=0 e chegando a -π/2 (em ω→+∞).

Resposta

X(ω)=11/2+jω e ang<= X(ω)=-arctan(2ω), cujo esboço vai de +π/2 em ω→-∞, passa por 0 em ω=0 e tende a -π/2 em ω→+∞.

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