Determinar a transformada de Fourier de
e esboce:
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Fourier de x(t)=e^{-t/2} (supondo t≥0) e o esboço de sua fase. O conteúdo envolve definição integral da transformada de Fourier de sinais exponenciais e representação em forma polar para extrair a fase.
Passo 2
Queremos calcular X(ω)=∫_{0}{∞}e{-t/2}e^{-jωt}dt. Aqui usamos a fórmula de integração de exponencial complexa: se α>0 então ∫_{0}{∞}e{-αt}dt=1/α.
No nosso caso α=1/2+jω. Logo
No nosso caso α=1/2+jω. Logo
Passo 3
Para obter a fase escrevemos 1/(1/2+jω) em forma polar. Primeiro note o ângulo do denominador é φ_d=\arctan(ω/(1/2))=\arctan(2ω). Como estamos tomando o recíproco, a fase inverte de sinal.
Portanto a fase de X(ω) é
Portanto a fase de X(ω) é
Passo 4
Ao esboçar, lembramos que \arctan(2ω) varia de -π/2 a π/2 quando ω vai de -∞ a +∞. Assim -\arctan(2ω) varia de π/2 (em ω→-∞) decrescendo para 0 em ω=0 e chegando a -π/2 (em ω→+∞).