Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado.
x=3 t-1, y=9 t^2-3 t ; t=1

Passo 1

O enunciado fornece a curva paramétrica
x = 3t - 1, y = 9t^2 - 3t
e pede a equação da reta tangente no ponto correspondente a t=1. O conteúdo usado será derivada paramétrica:
dydx = dydtdxdt

Passo 2

Primeiro encontramos o ponto na curva para t=1:
x(1) = 3cdot1 - 1 = 2, y(1) = 9cdot1^2 - 3cdot1 = 6
Portanto o ponto é (2,6).

Passo 3

Agora calculamos as derivadas em relação a t:
dxdt = 3, dydt = 18t - 3
Em t=1 temos dydt=18cdot1-3=15. Assim a inclinação da tangente é
m = dydx = 153 = 5

Passo 4

A equação da reta tangente na forma ponto-inclinação é
y - y0 = m,(x - x0),
onde (x0,y0)=(2,6) e m=5. Logo
y - 6 = 5(x - 2)
Podemos expandir para a forma explícita:
y = 5x - 10 + 6 = 5x - 4

Resposta

A reta tangente é
y - 6 = 5(x - 2)
ou, de forma equivalente,
y = 5x - 4

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