Determinar a transformada de Fourier do sinal , onde é o sinal dado abaixo, e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer descobrir a transformada de Fourier do sinal [x(t) = t \cdot x_2(t)), onde é um sinal retangular definido por:
Então, o conteúdo que vamos usar envolve transformadas de Fourier e algumas propriedades básicas dela. Precisamos entender como transformar um sinal que é o produto de (t] com um sinal retangular. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sinal [x(t)) com os valores de e :
Isso significa que no intervalo de a e zero fora desse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da definição da transformada de Fourier para um sinal x(t) :
X(f) = integral-infty^infty x(t) e^-j 2pi f t dt
No nosso caso, já que x(t) é zero fora de -12 a 12, podemos simplificar os limites da integral:
X(f) = integral-12^12 t cdot e^-j 2pi f t dt
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
u = t Rightarrow du = dt
dv = e^-j 2pi f t dt Rightarrow v = e^-j 2pi f t-j 2pi f
Agora, aplicando a fórmula:
integral t cdot e^-j 2pi f t dt = t cdot e^-j 2pi f t-j 2pi f - integral e^-j 2pi f t-j 2pi f dt
Passo 5
Simplificando a expressão:
= t e^-j 2pi f t-j 2pi f + 1j 2pi f integral e^-j 2pi f t dt
A integral restante é:
integral e^-j 2pi f t dt = e^-j 2pi f t-j 2pi f + C
Portanto:
integral t cdot e^-j 2pi f t dt = t e^-j 2pi f t-j 2pi f + e^-j 2pi f t(j 2pi f)^2 + C
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de -12 a 12:
X(f) = [ t e^-j 2pi f t-j 2pi f + e^-j 2pi f t(j 2pi f)^2 ]-12^12
Vamos calcular cada termo nos limites superiores e inferiores.
Passo 7
Calculando no limite superior t = 12 :
12 e^-j pi f-j 2pi f + e^-j pi f(j 2pi f)^2
E no limite inferior t = -12 :
-12 e^j pi f-j 2pi f + e^j pi f(j 2pi f)^2
Passo 8
Subtraindo os valores:
X(f) = ( 12 e^-j pi f-j 2pi f + e^-j pi f(j 2pi f)^2 ) - ( -12 e^j pi f-j 2pi f + e^j pi f(j 2pi f)^2 )
Simplificando:
X(f) = e^-j pi f + e^j pi fj 4pi f + e^-j pi f - e^j pi f(j 2pi f)^2
Passo 9
Reconhecendo que e^-j pi f + e^j pi f = 2cos(pi f) e e^-j pi f - e^j pi f = -2jsin(pi f) , substituímos: