Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
07.
07.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos decidir se a série
é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar o Teste de Comparação Limitante, que nos ajuda a comparar a série dada com uma série conhecida para determinar seu comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
. Para entender o comportamento dessa fração quando
fica muito grande, observamos que os termos de maior grau no numerador e no denominador dominam.
Passo 3
Simplificando, para
grande, temos:
Isso significa que, para valores grandes de
, o termo
se comporta aproximadamente como
.
Passo 4
Sabemos que a série
é a série harmônica, que é uma série divergente. Vamos aplicar o Teste de Comparação Limitante comparando
com
.
Calculamos o limite:
Como o limite é um número positivo e finito (
), o comportamento da série
será o mesmo da série
.
Passo 5
Já que a série harmônica
é divergente e o limite das razões é
, concluímos que a série original
também não converge, ou seja, ela diverge.
Resposta
A série é divergente.