Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
07. sum1^infty n^24 n^3+1

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos decidir se a série sumn=1^infty n^24n^3+1 é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar o Teste de Comparação Limitante, que nos ajuda a comparar a série dada com uma série conhecida para determinar seu comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: an = n^24n^3+1. Para entender o comportamento dessa fração quando n fica muito grande, observamos que os termos de maior grau no numerador e no denominador dominam.

Passo 3

Simplificando, para n grande, temos:
an approx n^24n^3 = 14n
Isso significa que, para valores grandes de n, o termo an se comporta aproximadamente como 14n.

Passo 4

Sabemos que a série sumn=1^infty 1n é a série harmônica, que é uma série divergente. Vamos aplicar o Teste de Comparação Limitante comparando an com bn = 1n.
Calculamos o limite:
limn to infty anbn = limn to infty n^24n^3+11n = limn to infty n^34n^3+1 = 14
Como o limite é um número positivo e finito ( 14), o comportamento da série sum an será o mesmo da série sum bn.

Passo 5

Já que a série harmônica sum 1n é divergente e o limite das razões é 14, concluímos que a série original sum n^24n^3+1 também não converge, ou seja, ela diverge.

Resposta

A série é divergente.

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