Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
05.
05.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se a série
converge ou não e, se possível, encontrar a soma dessa série. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o termo geral da série, que é
. Para simplificar, vamos decompor essa fração em frações parciais. Isso significa que vamos escrever
como a soma de duas frações mais simples.
Passo 3
Assumimos que:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar. Vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
e
. Expandindo a equação:
Agrupando termos semelhantes:
Como essa equação deve valer para todo
, os coeficientes dos termos de
e os termos constantes devem ser iguais nos dois lados da equação. Portanto:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 6
Agora que encontramos
e
, podemos reescrever o termo geral da série:
Isso simplifica para:
Passo 7
Agora, vamos reescrever a série original usando essa decomposição:
Essa série é telescópica, o que significa que muitos termos vão se cancelar quando somamos.
Passo 8
Vamos ver como funciona somando os primeiros termos:
Observe que
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante. Restará apenas o primeiro termo,
, e o último termo tende a zero conforme
vai para o infinito.
Passo 9
Então, a soma da série é:
Portanto, a série converge e a soma dela é
.
Resposta
A série
é convergente e a soma dela é
.