Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
05. sum1^infty 1(2 n-1)(2 n+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se a série sumn=1^infty 1(2n-1)(2n+1) converge ou não e, se possível, encontrar a soma dessa série. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o termo geral da série, que é 1(2n-1)(2n+1). Para simplificar, vamos decompor essa fração em frações parciais. Isso significa que vamos escrever 1(2n-1)(2n+1) como a soma de duas frações mais simples.

Passo 3

Assumimos que:
1(2n-1)(2n+1) = A2n-1 + B2n+1
Aqui, A e B são constantes que precisamos encontrar. Vamos multiplicar ambos os lados da equação por (2n-1)(2n+1) para eliminar os denominadores:
1 = A(2n+1) + B(2n-1)

Passo 4

Agora, vamos resolver para A e B. Expandindo a equação:
1 = A cdot 2n + A cdot 1 + B cdot 2n - B cdot 1
Agrupando termos semelhantes:
1 = (2A + 2B)n + (A - B)
Como essa equação deve valer para todo n, os coeficientes dos termos de n e os termos constantes devem ser iguais nos dois lados da equação. Portanto:
2A + 2B = 0 (coeficiente de n)
A - B = 1 (termo constante)

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações:
2A + 2B = 0 Rightarrow A + B = 0
A - B = 1
Somando as duas equações:
(A + B) + (A - B) = 0 + 1 Rightarrow 2A = 1 Rightarrow A = 12
Substituindo A na primeira equação:
12 + B = 0 Rightarrow B = -12

Passo 6

Agora que encontramos A = 12 e B = -12, podemos reescrever o termo geral da série:
1(2n-1)(2n+1) = 1/22n-1 - 1/22n+1
Isso simplifica para:
1(2n-1)(2n+1) = 12 ( 12n-1 - 12n+1 )

Passo 7

Agora, vamos reescrever a série original usando essa decomposição:
sumn=1^infty 1(2n-1)(2n+1) = 12 sumn=1^infty ( 12n-1 - 12n+1 )
Essa série é telescópica, o que significa que muitos termos vão se cancelar quando somamos.

Passo 8

Vamos ver como funciona somando os primeiros termos:
12 [ ( 11 - 13 ) + ( 13 - 15 ) + ( 15 - 17 ) + cdots ]
Observe que -13 cancela com +13, -15 cancela com +15, e assim por diante. Restará apenas o primeiro termo, 11, e o último termo tende a zero conforme n vai para o infinito.

Passo 9

Então, a soma da série é:
12 ( 11 ) = 12
Portanto, a série converge e a soma dela é 12.

Resposta

A série sumn=1^infty 1(2n-1)(2n+1) é convergente e a soma dela é 12.

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