Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
08.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no exercício: precisamos decidir se a série é convergente e, se for, encontrar o valor da soma. Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries geométricas, que é uma parte da matéria de sequências e séries em Matemática. Precisamos identificar a razão da série e verificar se ela atende aos critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se essa série é geométrica. Uma série geométrica é aquela em que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante, chamada de razão (). No nosso caso, o termo geral da série é .
Passo 3
Agora, vamos simplificar o termo geral para identificar a razão . Podemos reescrever da seguinte forma:
Aqui, vemos que a série pode ser representada como:
Isso mostra que .
Passo 4
Para determinar se a série converge, precisamos verificar o valor absoluto da razão . A condição de convergência para uma série geométrica é que .
Como |r| < 1, a série é convergente.
Passo 5
Como a série é convergente, podemos encontrar a soma usando a fórmula da série geométrica infinita:
S = a1 - r
Onde a é o primeiro termo da série. No nosso caso, o primeiro termo a é quando n=1: