Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
08. sum1^infty 2^n-13^n

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício: precisamos decidir se a série sumn=1^infty 2^n-13^n é convergente e, se for, encontrar o valor da soma. Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries geométricas, que é uma parte da matéria de sequências e séries em Matemática. Precisamos identificar a razão da série e verificar se ela atende aos critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se essa série é geométrica. Uma série geométrica é aquela em que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante, chamada de razão ( r). No nosso caso, o termo geral da série é 2^n-13^n.

Passo 3

Agora, vamos simplificar o termo geral para identificar a razão r. Podemos reescrever 2^n-13^n da seguinte forma:
2^n-13^n = 2^n2 cdot 3^n = 12 (23)^n
Aqui, vemos que a série pode ser representada como:
sumn=1^infty 12 (23)^n
Isso mostra que r = 23.

Passo 4

Para determinar se a série converge, precisamos verificar o valor absoluto da razão r. A condição de convergência para uma série geométrica é que |r| < 1.
| 23 | = 23 < 1
Como |r| < 1, a série é convergente.

Passo 5

Como a série é convergente, podemos encontrar a soma usando a fórmula da série geométrica infinita:
S = a1 - r
Onde a é o primeiro termo da série. No nosso caso, o primeiro termo a é quando n=1:
a = 2^1-13^1 = 13
Substituindo na fórmula:
S = 131 - 23 = 1313 = 1

Resposta

A série é convergente e a soma é igual a 1.

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