Nos exercícios 01 a 04, determine a série que tem a sequência de somas parciais dada. Diga também se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
03. (12^n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 03 juntos! A questão pede para determinar a série que tem a sequência de somas parciais dada por (12^n). Além disso, precisamos dizer se essa série converge e, se possível, encontrar o valor da soma. Para isso, vamos usar conceitos de séries e somas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são somas parciais. A soma parcial Sn de uma série é a soma dos primeiros n termos dessa série. No nosso caso, a sequência das somas parciais é Sn = 12^n.
Para encontrar a série original, precisamos determinar os termos an que, ao serem somados, resultam nas somas parciais dadas. A fórmula para encontrar o termo geral de uma série a partir das somas parciais é:
an = Sn - Sn-1

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para encontrar os termos da série.
Para n = 1:
a1 = S1 = 12^1 = 12
Para n = 2:
a2 = S2 - S1 = 12^2 - 12^1 = 14 - 12 = -14
Para n = 3:
a3 = S3 - S2 = 12^3 - 12^2 = 18 - 14 = -18
E assim por diante. Observamos que a partir do segundo termo, os an são negativos e seguem a sequência -12^n.

Passo 4

Então, a série que estamos procurando é:
sumn=1^infty an = 12 - 14 - 18 - 116 - dots

Passo 5

Agora, vamos verificar se essa série converge. Para isso, observamos o comportamento das somas parciais Sn = 12^n. Quando n tende ao infinito:
limn to infty Sn = limn to infty 12^n = 0
Como o limite das somas parciais existe e é igual a 0, a série é convergente.

Passo 6

Finalmente, vamos encontrar o valor da soma da série. Sabemos que:
sumn=1^infty an = limn to infty Sn = 0
Portanto, a soma da série é 0.

Resposta

A série correspondente é sumn=1^infty ( 12 - 14 - 18 - 116 - dots ). Ela é convergente e a soma da série é igual a 0.

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