Nos exercícios 01 a 04, determine a série que tem a sequência de somas parciais dada. Diga também se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
03.
03.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 03 juntos! A questão pede para determinar a série que tem a sequência de somas parciais dada por
. Além disso, precisamos dizer se essa série converge e, se possível, encontrar o valor da soma. Para isso, vamos usar conceitos de séries e somas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são somas parciais. A soma parcial
de uma série é a soma dos primeiros
termos dessa série. No nosso caso, a sequência das somas parciais é
.
Para encontrar a série original, precisamos determinar os termos
que, ao serem somados, resultam nas somas parciais dadas. A fórmula para encontrar o termo geral de uma série a partir das somas parciais é:
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula para encontrar os termos da série.
Para
:
Para
:
Para
:
E assim por diante. Observamos que a partir do segundo termo, os
são negativos e seguem a sequência
.
Passo 4
Então, a série que estamos procurando é:
Passo 5
Agora, vamos verificar se essa série converge. Para isso, observamos o comportamento das somas parciais
. Quando
tende ao infinito:
Como o limite das somas parciais existe e é igual a 0, a série é convergente.
Passo 6
Finalmente, vamos encontrar o valor da soma da série. Sabemos que:
Portanto, a soma da série é 0.
Resposta
A série correspondente é
. Ela é convergente e a soma da série é igual a 0.