Obtenção da transformada de Fourier
Do item (a), e da propriedade da dualidade, determine a transformada de Fourier de 11+t^2)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier da função
h(t)=11+t^2
usando o resultado do item (a) e a propriedade da dualidade. O conteúdo envolve a transformada de Fourier no par
f(t)long<=ftrightarrow F(omega)
e a aplicação da dualidade para inverter papéis de tempo e frequência.

Passo 2

Do item (a) sabemos que a função
g(t)=e^-|t|
tem transformada de Fourier
G(omega)=integral-infty^inftye^-|t|e^-iomega t,dt=21+omega^2

Passo 3

A propriedade da dualidade afirma que, se
f(t)long<=ftrightarrow F(omega),
então também vale
F(t)long<=ftrightarrow 2pi,f(-omega)
Isto significa que, trocando tempo por frequência em F, obtemos a transformada de F(t) até um fator 2pi e uma inversão de sinal em omega.

Passo 4

No nosso caso temos
F(omega)=21+omega^2
como transformada de g(t). Pela dualidade, a função
tilde h(t)=21+t^2
tem transformada de Fourier
widetilde H(omega)=2pi,g(-omega)=2pi,e^-|,-omega,|=2pi,e^-|omega|

Passo 5

Como queremos a transformada de
h(t)=11+t^2, basta notar que
h(t)=tfrac12,tilde h(t). Portanto sua transformada é
H(omega)=12,widetilde H(omega) =12,l(2pi,e^-|omega|r) =pi,e^-|omega|

Resposta

Fl1/(1+t^2)r(omega) =pi,e^-|omega|

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