(a) Determinar a transformada de Laplace da função f(t)=2 \cos (5 t).
(b) Usar a transformada de Laplace para resolver o P.V.I: y^{\prime}-y=2 \cos (5 t), y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro (a) calcular a transformada de Laplace de f(t)=2\cos(5t). Depois (b) usar transformadas de Laplace para resolver o problema de valor inicial
y'(t)-y(t)=2\cos(5t),\quad y(0)=0.
O conteúdo envolve definições básicas de transformada de Laplace, suas propriedades de linearidade e de derivada, além de frações parciais para inverter a transformada.

Passo 2

Para f(t)=2\cos(5t), usamos que
\mathcal{L}\{\cos(at)\}(s)=\frac{s}{s^2+a^2}.
Pela linearidade,
\mathcal{L}\{2\cos(5t)\}(s) =2\;\mathcal{L}\{\cos(5t)\}(s) =2\;\frac{s}{s^2+5^2} =\frac{2s}{s^2+25}.

Passo 3

Agora aplicamos a transformada de Laplace à EDO. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s), tem-se
\mathcal{L}\{y'\}(s)-\mathcal{L}\{y\}(s) =\mathcal{L}\{2\cos(5t)\}(s).
Como \mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0) e y(0)=0, obtemos
sY(s)-0 - Y(s) =\frac{2s}{s^2+25},
isto é,
(s-1)Y(s)=\frac{2s}{s^2+25}, \quad Y(s)=\frac{2s}{(s-1)(s^2+25)}.

Passo 4

Fazemos frações parciais em
\frac{2s}{(s-1)(s^2+25)} =\frac{A}{s-1}+\frac{Bs+C}{s^2+25}.
Multiplicando por (s-1)(s^2+25) e igualando coeficientes resulta no sistema
A+B=0,\quad -B+C=2,\quad 25A-C=0.
Daí A=\tfrac{1}{13}, B=-\tfrac{1}{13}, C=\tfrac{25}{13}. Logo
Y(s) =\frac{1/13}{s-1} +\frac{-\tfrac{1}{13}s+\tfrac{25}{13}}{s^2+25}.

Passo 5

Invertendo termo a termo:
y(t) =\frac{1}{13}e^{t} -\frac{1}{13}\cos(5t) +\frac{25}{13}\,\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{s^2+25}\Bigr\}(t).
Como \mathcal{L}^{-1}\{1/(s^2+5^2)\}=\tfrac{1}{5}\sin(5t), temos
y(t) =\frac{1}{13}e^{t} -\frac{1}{13}\cos(5t) +\frac{25}{13}\cdot\frac{1}{5}\sin(5t) =\frac{1}{13}e^{t} -\frac{1}{13}\cos(5t) +\frac{5}{13}\sin(5t).

Resposta

(a) \displaystyle \mathcal{L}\{2\cos(5t)\}(s)=\frac{2s}{s^2+25}. (b) \displaystyle y(t)=\frac{1}{13}e^{t}-\frac{1}{13}\cos(5t)+\frac{5}{13}\sin(5t).

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