(a) Mostrar que
.
(b) Usar a transformada de Laplace para resolver o P.V.I:
.
(b) Usar a transformada de Laplace para resolver o P.V.I:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
– (a) calcular a transformada de Laplace de ;
– (b) usar a transformada de Laplace para resolver o P.V.I.
– (a) calcular a transformada de Laplace de
– (b) usar a transformada de Laplace para resolver o P.V.I.
O conteúdo envolve a propriedade de derivação em
para tratar o fator
na transformada e também o uso direto da transformada em equações diferenciais lineares de segunda ordem.
Passo 2
Para (a), lembramos que, se
então
Aqui
, cuja transformada conhecida é
Logo
Calculemos essa derivada:
Mas
, então
pois
e vê-se que o fator numérico resulta em
.
Passo 3
Agora (b). Aplique
em cada termo de
Chamando
, temos
Portanto a equação em
é
Passo 4
Isolando
:
Fazemos frações parciais do tipo
e determinamos
. O sistema dá
Logo
Passo 5
Finalmente invertemos cada termo:
Portanto
Resposta
(a)
(b)
(b)