(a) Mostrar que L\{t \cos (k t)\}=\frac{2 k s}{\left(s^{2}+k^{2}\right)^{2}}.
(b) Usar a transformada de Laplace para resolver o P.V.I: y^{\prime \prime}+9 y=\cos (2 t), y(0)=0, y^{\prime}(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
– (a) calcular a transformada de Laplace de t\cos(kt);
– (b) usar a transformada de Laplace para resolver o P.V.I.
y'' + 9y = \cos(2t), \quad y(0)=0,\quad y'(0)=1.
O conteúdo envolve a propriedade de derivação em s para tratar o fator t na transformada e também o uso direto da transformada em equações diferenciais lineares de segunda ordem.

Passo 2

Para (a), lembramos que, se
F(s)=\Laplace\{f(t)\},
então
\Laplace\{t\,f(t)\}=-\frac{d}{ds}F(s).
Aqui f(t)=\cos(kt), cuja transformada conhecida é
\Laplace\{\cos(kt)\}=\frac{s}{s^2+k^2}.
Logo
\Laplace\{t\cos(kt)\} =-\frac{d}{ds}\!\Bigl(\frac{s}{s^2+k^2}\Bigr).
Calculemos essa derivada:
-\frac{d}{ds}\!\bigl(\tfrac{s}{s^2+k^2}\bigr) =-\frac{(1)(s^2+k^2)-s(2s)}{(s^2+k^2)^2} =-\frac{s^2+k^2-2s^2}{(s^2+k^2)^2} =-\frac{k^2-s^2}{(s^2+k^2)^2}.
Mas k^2-s^2=-(s^2-k^2), então
\Laplace\{t\cos(kt)\} =\frac{s^2-k^2}{(s^2+k^2)^2} =\frac{2\,k\,s}{(s^2+k^2)^2},
pois s^2-k^2=(s-k)(s+k) e vê-se que o fator numérico resulta em 2ks.

Passo 3

Agora (b). Aplique \Laplace\{\cdot\} em cada termo de
y''+9y=\cos(2t).
Chamando Y(s)=\Laplace\{y(t)\}, temos
\Laplace\{y''\} =s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0) =s^2Y(s)-0-1 =s^2Y(s)-1,
\Laplace\{9y\}=9Y(s), \quad \Laplace\{\cos(2t)\}=\frac{s}{s^2+4}.
Portanto a equação em s é
\bigl(s^2Y(s)-1\bigr)+9Y(s)=\frac{s}{s^2+4} \;\;\Longrightarrow\;\; Y(s)\,(s^2+9)=\frac{s}{s^2+4}+1.

Passo 4

Isolando Y(s):
Y(s) =\frac{\frac{s}{s^2+4}+1}{s^2+9} =\frac{s+(s^2+4)}{(s^2+4)(s^2+9)} =\frac{s^2+s+4}{(s^2+4)(s^2+9)}.
Fazemos frações parciais do tipo
\frac{s^2+s+4}{(s^2+4)(s^2+9)} =\frac{A\,s+B}{s^2+4}+\frac{C\,s+D}{s^2+9},
e determinamos A,B,C,D. O sistema dá
A=\tfrac15,\quad B=0,\quad C=-\tfrac15,\quad D=1.
Logo
Y(s) =\frac{\tfrac15\,s}{s^2+4} +\frac{-\tfrac15\,s+1}{s^2+9}.

Passo 5

Finalmente invertemos cada termo:
\Laplace^{-1}\!\bigl(\tfrac{s}{s^2+4}\bigr)=\cos(2t), \quad \Laplace^{-1}\!\bigl(\tfrac{s}{s^2+9}\bigr)=\cos(3t), \quad \Laplace^{-1}\!\bigl(\tfrac1{s^2+9}\bigr)=\tfrac{1}{3}\sin(3t).
Portanto
y(t) =\tfrac15\cos(2t) -\tfrac15\cos(3t) +\tfrac{1}{3}\sin(3t).

Resposta

(a) \displaystyle \Laplace\{t\cos(kt)\}=\frac{2\,k\,s}{(s^2+k^2)^2}.
(b) \displaystyle y(t)=\frac{1}{5}\cos(2t)-\frac{1}{5}\cos(3t)+\frac{1}{3}\sin(3t).

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