Resolver o problema de valor inicial y^{\prime}+y=e^{-t}, y(0)=1 :
usando a Transformada de Laplace.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'(t) + y(t) = e^{-t},\quad y(0)=1
usando a transformada de Laplace. Vamos usar as seguintes ideias:
– Definimos
Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}y(t)\,dt.
– A linearidade faz \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0) e \mathcal{L}\{y\}=Y(s).
– Sabemos ainda que \mathcal{L}\{e^{-t}\}=1/(s+1) e que invertendo \mathcal{L}^{-1}\{1/(s+1)\}=e^{-t}, \mathcal{L}^{-1}\{1/(s+1)^2\}=t\,e^{-t}.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo da EDO, obtemos
\mathcal{L}\{y'\}+\mathcal{L}\{y\} =\mathcal{L}\{e^{-t}\} \quad\Longrightarrow\quad \bigl(sY(s)-1\bigr)+Y(s)=\frac{1}{s+1}.

Passo 3

Reagrupando termos em Y(s):
(s+1)\,Y(s)-1=\frac{1}{s+1} \quad\Longrightarrow\quad (s+1)\,Y(s)=1+\frac{1}{s+1} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{1}{s+1}+\frac{1}{(s+1)^2}.

Passo 4

Voltando ao domínio do tempo pela transformada inversa, cada parcela vira:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s+1}\Bigr\}=e^{-t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{(s+1)^2}\Bigr\}=t\,e^{-t}.
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y(t)=e^{-t}+t\,e^{-t}=(1+t)\,e^{-t}.

Resposta

y(t)=(1+t)\,e^{-t}.

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