Sejam
matrizes
tais que
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são matrizes
tais que
O conteúdo central aqui é que uma matriz quadrada que tem inversa à esquerda (ou seja, um inverso que satisfaz
) é de fato invertível e seu inverso é também à direita. Para mostrar isso vamos usar propriedades de determinante e o fato de que, para matrizes quadradas, ter determinante não nulo é equivalente a ser invertível.
Passo 2
Como sabemos que
tomamos determinante em ambos os lados. Usando
e
, obtemos
Passo 3
Da igualdade
segue que
. Para uma matriz quadrada isso implica que
é invertível, ou seja, existe uma matriz
tal que
Passo 4
Partindo de
, multiplica-se à esquerda por
:
Agora, multiplicando essa relação à direita por
, obtemos
Resposta
Ficou provado que
.