Sejam A, B matrizes 2 times 2 tais que A B=I. Mostre que B A=I.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes 2times2 tais que
A B = I
O conteúdo central aqui é que uma matriz quadrada que tem inversa à esquerda (ou seja, um inverso que satisfaz A B=I) é de fato invertível e seu inverso é também à direita. Para mostrar isso vamos usar propriedades de determinante e o fato de que, para matrizes quadradas, ter determinante não nulo é equivalente a ser invertível.

Passo 2

Como sabemos que
A B = I,
tomamos determinante em ambos os lados. Usando det(AB)=det(A)det(B) e det(I)=1, obtemos
det(A),det(B)=1

Passo 3

Da igualdade det(A)det(B)=1 segue que det(A)neq 0. Para uma matriz quadrada isso implica que A é invertível, ou seja, existe uma matriz A^-1 tal que
A^-1A = I e AA^-1=I

Passo 4

Partindo de A B=I, multiplica-se à esquerda por A^-1:
A^-1(A B) = A^-1I Longrightarrow (A^-1A)B = A^-1 Longrightarrow Icdot B = A^-1 Longrightarrow B = A^-1
Agora, multiplicando essa relação à direita por A, obtemos
B A = A^-1A = I

Resposta

Ficou provado que B A = I.

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