Determinar u cdot v+u cdot w+v cdot w, sabendo que u+v+w=0, |u|=2, |v|=3 e |w|=raiz5.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores u,v,w tais que
u+v+w=0
e os módulos
|u|=2, |v|=3, |w|=raiz5.
Queremos calcular
ucdotv+ucdotw+vcdotw.
Para isso, vamos usar a propriedade do produto interno ao expandir
llvertu+v+wrrvert^2.

Passo 2

Como u+v+w=0, temos
llvertu+v+wrrvert^2 = 0

Passo 3

Expandindo o quadrado do somatório pelo produto interno:
llvertu+v+wrrvert^2 = ucdotu + vcdotv + wcdotw + 2l(ucdotv+ucdotw+vcdotwr)

Passo 4

Substituindo ucdotu=|u|^2, vcdotv=|v|^2, wcdotw=|w|^2 e usando o fato de o resultado ser zero, obtemos:
0 = |u|^2 + |v|^2 + |w|^2 + 2l(ucdotv+ucdotw+vcdotwr)
Isolando a soma dos produtos internos:
ucdotv+ucdotw+vcdotw = -|u|^2+|v|^2+|w|^22

Passo 5

Calculando |u|^2=2^2=4, |v|^2=3^2=9 e |w|^2=(raiz5)^2=5, temos
|u|^2+|v|^2+|w|^2 = 4+9+5 = 18
Portanto
ucdotv+ucdotw+vcdotw = -182 = -9

Resposta

-9

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