Resolva utilizando método de Cholesky a matriz abaixo.
A=[cccc 10 & 2 & 7.5 & 7.5 2 & 5 & 4 & 0 7.5 & 4 & 0 & 0.5 7.5 & 0 & 0.5 & 0 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a matriz A usando o método de Cholesky. Esse método é uma forma de decompor uma matriz simétrica e definida positiva em duas matrizes triangulares, facilitando várias operações matemáticas, como a resolução de sistemas lineares. Para isso, precisamos garantir que a matriz A seja simétrica e definida positiva. Vamos começar verificando isso e, então, seguir para a decomposição.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que a matriz A é simétrica. Olhando para os elementos, vemos que Aij = Aji para todos os i e j . Por exemplo, o elemento na posição (1,2) é 2, e na posição (2,1) também é 2. Isso vale para todos os pares, então A é simétrica.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a matriz é definida positiva. Uma maneira de fazer isso é verificar se todos os menores principais da matriz têm determinantes positivos. Vamos calcular os determinantes dos menores de ordem 1, 2, 3 e 4.
Primeiro, os menores de ordem 1 são os elementos da diagonal:
  • a11 = 10 > 0
  • a22 = 5 > 0
  • a33 = 0 → Aqui já temos um problema, pois precisamos que todos os menores principais sejam positivos. Portanto, a matriz não é definida positiva.

Passo 4

Dado que a matriz A não é definida positiva, o método de Cholesky não pode ser aplicado diretamente. O método de Cholesky exige que a matriz seja simétrica e definida positiva para garantir que a decomposição exista e seja única.

Resposta

Não é possível aplicar o método de Cholesky na matriz fornecida, pois ela não é definida positiva.

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