Resolva utilizando método de Cholesky a matriz abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a matriz A usando o método de Cholesky. Esse método é uma forma de decompor uma matriz simétrica e definida positiva em duas matrizes triangulares, facilitando várias operações matemáticas, como a resolução de sistemas lineares. Para isso, precisamos garantir que a matriz A seja simétrica e definida positiva. Vamos começar verificando isso e, então, seguir para a decomposição.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que a matriz A é simétrica. Olhando para os elementos, vemos que Aij = Aji para todos os i e j . Por exemplo, o elemento na posição (1,2) é 2, e na posição (2,1) também é 2. Isso vale para todos os pares, então A é simétrica.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a matriz é definida positiva. Uma maneira de fazer isso é verificar se todos os menores principais da matriz têm determinantes positivos. Vamos calcular os determinantes dos menores de ordem 1, 2, 3 e 4.
Primeiro, os menores de ordem 1 são os elementos da diagonal:
a11 = 10 > 0
a22 = 5 > 0
a33 = 0 → Aqui já temos um problema, pois precisamos que todos os menores principais sejam positivos. Portanto, a matriz não é definida positiva.
Passo 4
Dado que a matriz A não é definida positiva, o método de Cholesky não pode ser aplicado diretamente. O método de Cholesky exige que a matriz seja simétrica e definida positiva para garantir que a decomposição exista e seja única.
Resposta
Não é possível aplicar o método de Cholesky na matriz fornecida, pois ela não é definida positiva.