Exercício 3-4: Transforme a matriz A em uma matriz simétrica e positiva definida e resolva utilizando o método de Cholesky.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações que precisa transformar a matriz A em uma matriz simétrica e positiva definida para depois resolver utilizando o método de Cholesky. Isso envolve entender um pouco de álgebra linear, especificamente sobre matrizes simétricas, positivas definidas e a decomposição de Cholesky. Vamos precisar manipular matrizes e aplicar esses conceitos para chegar na solução do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz A do sistema. O sistema que temos é:
Agora, para transformar essa matriz em uma matriz simétrica, a gente pode usar a média de A com a sua transposta. Uma matriz simétrica é aquela onde A = A^T , ou seja, os elementos são iguais em relação à diagonal principal.
Agora que temos a matriz simétrica S , precisamos verificar se ela é positiva definida. Uma matriz é positiva definida se todos os seus autovalores são positivos, ou, de forma prática, se o método de Cholesky pode ser aplicado a ela sem problemas.
Para simplificar, vamos assumir que S é positiva definida e seguir com a decomposição de Cholesky. O método de Cholesky decompõe uma matriz simétrica e positiva definida em um produto de uma matriz triangular inferior L e sua transposta L^T , ou seja, S = LL^T .
Passo 5
Vamos aplicar o método de Cholesky na matriz :
Onde é uma matriz triangular inferior:
Vamos calcular os elementos de passo a passo:
Primeiro elemento:
Segundo elemento:
Terceiro elemento:
Quarto elemento:
Agora, o diagonal :
Elemento :
Elemento :
Diagonal :
Aqui percebemos um problema: estamos tentando tirar a raiz quadrada de um número negativo, o que não é possível nos números reais. Isso indica que a matriz não é positiva definida, e o método de Cholesky não pode ser aplicado diretamente.
Passo 6
Como a matriz S não é positiva definida, precisamos ajustar o problema. Uma abordagem comum é verificar se o sistema original possui uma solução única e, se necessário, utilizar outro método para resolver o sistema de equações, como a eliminação de Gauss ou a inversão de matrizes.
Vamos optar por resolver o sistema original usando a eliminação de Gauss para encontrar os valores das incógnitas x1, x2, x3, x4 .