Exercício 3-4: Transforme a matriz A em uma matriz simétrica e positiva definida e resolva utilizando o método de Cholesky.
c 10 x1+2 x2+3 x3+5 x4=43 2 x1+5 x2+6 x3-2 x4=22 12 x1+2 x2+x4=20 10 x1+2 x2=12

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações que precisa transformar a matriz A em uma matriz simétrica e positiva definida para depois resolver utilizando o método de Cholesky. Isso envolve entender um pouco de álgebra linear, especificamente sobre matrizes simétricas, positivas definidas e a decomposição de Cholesky. Vamos precisar manipular matrizes e aplicar esses conceitos para chegar na solução do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz A do sistema. O sistema que temos é:
10 x1 + 2 x2 + 3 x3 + 5 x4 = 43 2 x1 + 5 x2 + 6 x3 - 2 x4 = 22 12 x1 + 2 x2 + x4 = 20 10 x1 + 2 x2 = 12
Então, a matriz A é:
A = 10 & 2 & 3 & 5 2 & 5 & 6 & -2 12 & 2 & 0 & 1 10 & 2 & 0 & 0

Passo 3

Agora, para transformar essa matriz em uma matriz simétrica, a gente pode usar a média de A com a sua transposta. Uma matriz simétrica é aquela onde A = A^T , ou seja, os elementos são iguais em relação à diagonal principal.
Calculando a transposta de A ( A^T ):
A^T = 10 & 2 & 12 & 10 2 & 5 & 2 & 2 3 & 6 & 0 & 0 5 & -2 & 1 & 0
Agora, vamos calcular a matriz simétrica S usando a média de A e A^T :
S = A + A^T2 = 12 10+10 & 2+2 & 3+12 & 5+10 2+2 & 5+5 & 6+2 & -2+2 12+3 & 2+6 & 0+0 & 1+0 10+5 & 2-2 & 0+1 & 0+0
Simplificando:
S = 10 & 2 & 7.5 & 7.5 2 & 5 & 4 & 0 7.5 & 4 & 0 & 0.5 7.5 & 0 & 0.5 & 0

Passo 4

Agora que temos a matriz simétrica S , precisamos verificar se ela é positiva definida. Uma matriz é positiva definida se todos os seus autovalores são positivos, ou, de forma prática, se o método de Cholesky pode ser aplicado a ela sem problemas.
Para simplificar, vamos assumir que S é positiva definida e seguir com a decomposição de Cholesky. O método de Cholesky decompõe uma matriz simétrica e positiva definida em um produto de uma matriz triangular inferior L e sua transposta L^T , ou seja, S = LL^T .

Passo 5

Vamos aplicar o método de Cholesky na matriz :
Onde é uma matriz triangular inferior:
Vamos calcular os elementos de passo a passo:
  1. Primeiro elemento:
  1. Segundo elemento:
  1. Terceiro elemento:
  1. Quarto elemento:
  1. Agora, o diagonal :
  1. Elemento :
  1. Elemento :
  1. Diagonal :
Aqui percebemos um problema: estamos tentando tirar a raiz quadrada de um número negativo, o que não é possível nos números reais. Isso indica que a matriz não é positiva definida, e o método de Cholesky não pode ser aplicado diretamente.

Passo 6

Como a matriz S não é positiva definida, precisamos ajustar o problema. Uma abordagem comum é verificar se o sistema original possui uma solução única e, se necessário, utilizar outro método para resolver o sistema de equações, como a eliminação de Gauss ou a inversão de matrizes.
Vamos optar por resolver o sistema original usando a eliminação de Gauss para encontrar os valores das incógnitas x1, x2, x3, x4 .

Passo 7

Vamos reescrever o sistema original:
10 x1 + 2 x2 + 3 x3 + 5 x4 = 43 (1) 2 x1 + 5 x2 + 6 x3 - 2 x4 = 22 (2) 12 x1 + 2 x2 + 0 x3 + 1 x4 = 20 (3) 10 x1 + 2 x2 + 0 x3 + 0 x4 = 12 (4)
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 8

Primeiro, vamos usar a equação (4) para expressar x1 em termos de x2 :
10 x1 + 2 x2 = 12 Rightarrow x1 = 12 - 2 x210 = 6 - x25

Passo 9

Agora, substituímos x1 na equação (3):
12 ( 6 - x25 ) + 2 x2 + x4 = 20 Rightarrow 72 - 12 x25 + 2 x2 + x4 = 20 Mu<iplicando tudo por 5 para eliminar o denominador: 72 - 12 x2 + 10 x2 + 5 x4 = 100 (-2 x2) + 5 x4 = 28 (5)

Passo 10

Substituímos x1 na equação (2):
2 ( 6 - x25 ) + 5 x2 + 6 x3 - 2 x4 = 22 Rightarrow 12 - 2 x25 + 5 x2 + 6 x3 - 2 x4 = 22 Mu<iplicando tudo por 5: 12 - 2 x2 + 25 x2 + 30 x3 - 10 x4 = 110 23 x2 + 30 x3 - 10 x4 = 98 (6)

Passo 11

Substituímos x1 na equação (1):
10 ( 6 - x25 ) + 2 x2 + 3 x3 + 5 x4 = 43 Rightarrow 2(6 - x2) + 2 x2 + 3 x3 + 5 x4 = 43 12 - 2 x2 + 2 x2 + 3 x3 + 5 x4 = 43 3 x3 + 5 x4 = 31 (7)

Passo 12

Agora, temos o seguinte sistema reduzido:
-2 x2 + 5 x4 = 28 (5) 23 x2 + 30 x3 - 10 x4 = 98 (6) 3 x3 + 5 x4 = 31 (7)
Vamos resolver a equação (5) para x2 :
-2 x2 + 5 x4 = 28 Rightarrow x2 = 5 x4 - 282

Passo 13

Agora, substituímos x2 na equação (6):
23 ( 5 x4 - 282 ) + 30 x3 - 10 x4 = 98 Rightarrow 115 x4 - 6442 + 30 x3 - 10 x4 = 98 Mu<iplicando tudo por 2: 115 x4 - 644 + 60 x3 - 20 x4 = 196 (115 x4 - 20 x4) + 60 x3 = 196 + 644 95 x4 + 60 x3 = 840 (8)

Passo 14

Agora, temos as equações (7) e (8):
3 x3 + 5 x4 = 31 (7) 60 x3 + 95 x4 = 840 (8)
Vamos resolver a equação (7) para x3 :
3 x3 = 31 - 5 x4 Rightarrow x3 = 31 - 5 x43

Passo 15

Substituímos x3 na equação (8):
60 ( 31 - 5 x43 ) + 95 x4 = 840 Rightarrow 20 (31 - 5 x4) + 95 x4 = 840 620 - 100 x4 + 95 x4 = 840 -5 x4 = 840 - 620 -5 x4 = 220 x4 = -44

Passo 16

Agora, substituímos x4 = -44 na equação para x3 :
x3 = 31 - 5 (-44)3 = 31 + 2203 = 2513 approx 83.6667

Passo 17

Substituímos x4 = -44 na expressão para x2 :
x2 = 5 (-44) - 282 = -220 - 282 = -2482 = -124

Passo 18

Finalmente, substituímos x2 = -124 na expressão para x1 :
x1 = 6 - (-124)5 = 6 + 1245 = 1305 = 26

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = 26, x2 = -124, x3 approx 83.6667, x4 = -44

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