Prove que para matrizes quadradas
e
, tem-se que
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a equivalência entre
e
,
onde e
são matrizes quadradas. O conteúdo que vamos usar é a distributividade da multiplicação de matrizes e o fato de que, em geral,
a menos que as matrizes comutem.
onde
Passo 2
Suponha primeiro que
Então, ao expandir o produto
pela distributividade, temos
Como
, os termos
e
se anulam, ficando
Passo 3
Agora suponha que
Expandindo o lado esquerdo sem assumir comutatividade, obtemos
Igualando com
, temos
Cancelando
e
de ambos os lados, segue
ou seja,
Resposta
Foi demonstrado que
implica
e vice-versa, concluindo a equivalência desejada.