Prove que para matrizes quadradas A e B, tem-se que AB=BA se, e somente se, (A-B)(A+B)=A^2-B^2.

Passo 1

O enunciado pede para provar a equivalência entre
;AB=BA; e
;(A-B)(A+B)=A^2-B^2,
onde A e B são matrizes quadradas. O conteúdo que vamos usar é a distributividade da multiplicação de matrizes e o fato de que, em geral, ABneq BA a menos que as matrizes comutem.

Passo 2

Suponha primeiro que
AB = BA
Então, ao expandir o produto (A-B)(A+B) pela distributividade, temos
(A-B)(A+B) = Acdot A + Acdot B - Bcdot A - Bcdot B = A^2 + AB - BA - B^2
Como AB=BA, os termos AB e -BA se anulam, ficando
(A-B)(A+B) = A^2 - B^2

Passo 3

Agora suponha que
(A-B)(A+B) = A^2 - B^2
Expandindo o lado esquerdo sem assumir comutatividade, obtemos
(A-B)(A+B) = A^2 + AB - BA - B^2
Igualando com A^2 - B^2, temos
A^2 + AB - BA - B^2 = A^2 - B^2
Cancelando A^2 e -B^2 de ambos os lados, segue
AB - BA = 0,
ou seja,
AB = BA

Resposta

Foi demonstrado que AB=BA implica (A-B)(A+B)=A^2-B^2 e vice-versa, concluindo a equivalência desejada.

Exercícios relacionados