Determinar d zd t, usando a regra da cadeia:
z=xy+e^x y, x=1t, y=raizt

Passo 1

O enunciado dá a função composta z em termos de x e y, com x e y dependentes de t: z = x/y + e^{x y}, x = 1/t e y = \sqrt{t}. O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para derivadas de funções de várias variáveis, e vamos precisar de ∂z/∂x, ∂z/∂y, dx/dt e dy/dt.

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia para derivada de z em relação a t:
dzdt = partial zpartial x dxdt + partial zpartial y dydt

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y. Como z = x/y + e^{x y}, temos:
partial zpartial x = 1y + y,e^x y,
partial zpartial y = -xy^2 + x,e^x y

Passo 4

Derivamos x e y em relação a t. Como x = 1/t e y = t^{1/2},
dxdt = -1t^2,
dydt = 12raizt

Passo 5

Agora substituímos x = 1/t, y = \sqrt{t}, dx/dt e dy/dt na expressão de dz/dt:
dzdt = l(1raizt + raizt,e^1/raiztr)l(-1t^2r) + l(-1/tt + 1te^1/raiztr)l(12raiztr)

Passo 6

Simplificamos termo a termo e agrupamos potências de t e o fator exponencial:
dzdt = -,t^-5/2 - t^-3/2e^1/raizt - tfrac12,t^-5/2 + tfrac12,t^-3/2e^1/raizt = -tfrac32,t^-5/2 - tfrac12,t^-3/2e^1/raizt

Passo 7

Podemos ainda escrever de forma factorizada para ficar mais compacto:
dzdt = -12,t^5/2l(3 + t,e^1/raiztr)

Resposta

-12,t^5/2l(3 + t,e^1/raiztr)

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