Determinar
, usando a regra da cadeia:
Passo 1
O enunciado dá a função composta z em termos de x e y, com x e y dependentes de t: z = x/y + e^{x y}, x = 1/t e y = \sqrt{t}. O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para derivadas de funções de várias variáveis, e vamos precisar de ∂z/∂x, ∂z/∂y, dx/dt e dy/dt.
Passo 2
Aplicamos a regra da cadeia para derivada de z em relação a t:
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y. Como z = x/y + e^{x y}, temos:
Passo 4
Derivamos x e y em relação a t. Como x = 1/t e y = t^{1/2},
Passo 5
Agora substituímos x = 1/t, y = \sqrt{t}, dx/dt e dy/dt na expressão de dz/dt:
Passo 6
Simplificamos termo a termo e agrupamos potências de t e o fator exponencial:
Passo 7
Podemos ainda escrever de forma factorizada para ficar mais compacto: