Verificar a regra da cadeia:
Passo 1
Resumo da questão: a gente tem uma função composta de duas variáveis intermediárias. A função principal é
, com as definições
e
. O conteúdo aqui é derivadas parciais e a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais
e
. Tratando
como constante ao derivar em
, e
como constante ao derivar em
, usamos a derivada de
que é
:
\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{1}{2\sqrt{u{2}+v{2}+5}}\cdot 2v=\frac{v}{\sqrt{u{2}+v{2}+5}}.
$$
Passo 3
Calcular as derivadas das variáveis intermediárias:
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{d}{dy}(\sin y)=\cos y.
$$
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia. Como
depende de
só via
e de
só via
, temos:
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial y}=0+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\cos y.
$$
Passo 5
Substituir
e
nas expressões finais para deixar tudo em função de
e $y.