Verificar a regra da cadeia:
z=raizu^2+v^2+5, u=cos x, v=sen y

Passo 1

Resumo da questão: a gente tem uma função composta de duas variáveis intermediárias. A função principal é z=raizu^2+v^2+5, com as definições u=cos x e v=sin y. O conteúdo aqui é derivadas parciais e a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais partial zpartial u e partial zpartial v. Tratando v como constante ao derivar em u, e u como constante ao derivar em v, usamos a derivada de raizw que é tfrac12raizw:
partial zpartial u=12raizu^2+v^2+5cdot 2u=uraizu^2+v^2+5, $$
\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{1}{2\sqrt{u{2}+v{2}+5}}\cdot 2v=\frac{v}{\sqrt{u{2}+v{2}+5}}.
$$

Passo 3

Calcular as derivadas das variáveis intermediárias:
partial upartial x=ddx(cos x)=-sin x, $$
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{d}{dy}(\sin y)=\cos y.
$$

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia. Como z depende de x só via u e de y só via v, temos:
partial zpartial x=partial zpartial ucdotpartial upartial x+partial zpartial vcdotpartial vpartial x=partial zpartial ucdotl(-sin xr)+0, $$
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial y}=0+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\cos y.
$$

Passo 5

Substituir u=cos x e v=sin y nas expressões finais para deixar tudo em função de x e $y.

Resposta

partial zpartial x=-cos x,sin xraizcos^2x+sin^2y+5,
partial zpartial y=sin y,cos yraizcos^2x+sin^2y+5

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