Resolva a equação de Laplace:
\left\{\begin{array}{cc} u_{x x}+u_{y y}=0, & (x, y) \in(0,2) \times(0,2) ; \\\ u(x, 0)=0, u(x, 2)=f(x), & x \in(0,2), \\\ u(0, y)=0, u(2, y)=y(y-2), & y \in(0,2) . \end{array}\right.
onde f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, \text { se } 0 \leq x<1, \\\\ 2-x, \text { se } 1 \leq x \leq 2\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de Dirichlet para a equação de Laplace
u_{xx}+u_{yy}=0,\quad (x,y)\in(0,2)\times(0,2),
com condições de contorno
u(x,0)=0,\quad u(x,2)=f(x),\quad 0\le x\le2,
u(0,y)=0,\quad u(2,y)=g(y),\quad 0\le y\le2,
onde
f(x)=\begin{cases}x,&0\le x<1,\\\ 2-x,&1\le x\le2,\end{cases} \qquad g(y)=y(y-2).
O método será separar variáveis em cada direção, mas antes iremos decompor a solução em duas partes que homogeneizam as fronteiras.

Passo 2

Escrevemos
u(x,y)=v(x,y)+w(x,y),
onde
v satisfaz Laplace com
\;v(x,0)=0,\;v(x,2)=f(x),\;v(0,y)=v(2,y)=0;
w satisfaz Laplace com
\;w(0,y)=0,\;w(2,y)=g(y),\;w(x,0)=w(x,2)=0.
Por superposição, v e w resolvem problemas de contorno homogêneos em três arestas e não homogêneos em uma só, permitindo usar séries de Fourier senoidais.

Passo 3

Para v: buscamos
v(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,\frac{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi y}{2}\bigr)}{\operatorname{sinh}(n\pi)}
de modo que
v(x,2)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)=f(x).
Pela ortogonalidade,
B_n=\int_{0}^{2}f(x)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx.
Calcula-se esse integral em duas partes e obtém-se
B_{2m}=0,\qquad B_{2m-1}=\frac{8(-1)^{m+1}}{(2m-1)^2\pi^2},\quad m\ge1.
Logo
v(x,y)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{8(-1)^{m+1}}{(2m-1)^2\pi^2}\,\sin\!\bigl(\tfrac{(2m-1)\pi x}{2}\bigr)\,\frac{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{(2m-1)\pi y}{2}\bigr)}{\operatorname{sinh}\!\bigl((2m-1)\pi\bigr)}.

Passo 4

Para w: buscamos
w(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}C_n\,\frac{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)}{\operatorname{sinh}(n\pi)}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi y}{2}\bigr)
de modo que
w(2,y)=\sum_{n=1}^{\infty}C_n\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi y}{2}\bigr)=g(y)=y(y-2).
Temos
C_n=\int_{0}^{2}y(y-2)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi y}{2}\bigr)\,dy,
e o cálculo leva a
C_{2m}=0,\qquad C_{2m-1}=-\frac{32}{(2m-1)^3\pi^3},\quad m\ge1.
Portanto
w(x,y)=\sum_{m=1}^{\infty}\Bigl(-\tfrac{32}{(2m-1)^3\pi^3}\Bigr)\,\frac{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{(2m-1)\pi x}{2}\bigr)}{\operatorname{sinh}\!\bigl((2m-1)\pi\bigr)}\,\sin\!\bigl(\tfrac{(2m-1)\pi y}{2}\bigr).

Resposta

A solução final é
u(x,y)=v(x,y)+w(x,y),
com
v(x,y)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{8(-1)^{m+1}}{(2m-1)^2\pi^2}\,\sin\!\bigl(\tfrac{(2m-1)\pi x}{2}\bigr)\,\frac{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{(2m-1)\pi y}{2}\bigr)}{\operatorname{sinh}\!\bigl((2m-1)\pi\bigr)},
w(x,y)=\sum_{m=1}^{\infty}\Bigl(-\tfrac{32}{(2m-1)^3\pi^3}\Bigr)\,\frac{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{(2m-1)\pi x}{2}\bigr)}{\operatorname{sinh}\!\bigl((2m-1)\pi\bigr)}\,\sin\!\bigl(\tfrac{(2m-1)\pi y}{2}\bigr).

Exercícios relacionados