Questāo 3 ( 6,0 pontos) - Considere a amostra de dados abaixo, relativa a vendas de planos de saúde de uma corretora.
4 2 9 1 18 2 4 14 7 22
8 10 24 8 5 35 57 10 53 30
18 31 7 8 19 8
(a) calcule a média, mediana, moda, desvio-padrão e coeficiente da variação;
(b) construa o histograma;
(c) calcule os quartis;
(d) construa e analise o boxplot.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra com n=26 observações das vendas de planos de saúde e pede:
– (a) média, mediana, moda, desvio-padrão e coeficiente de variação;
– (b) histograma;
– (c) quartis;
– (d) boxplot e análise de outliers.
Vamos usar as definições clássicas de estatística descritiva: soma, ordenação, fórmulas de média e variância, divisão em classes para o histograma e regras de Tukey para detectar outliers no boxplot.

Passo 2

Primeiro ordenamos os dados e calculamos soma, média, mediana e moda.
Os dados ordenados são
1,2,2,4,4,5,7,7,8,8,8,8,9,10,10,14,18,18,19,22,24,30,31,35,53,57
A soma é
\sum x = 414
Logo a média é
\bar x = \frac{414}{26}\approx 15{,}92.
Como n é par, a mediana é a média dos 13º e 14º termos:
\text{mediana} = \frac{9 + 10}{2} = 9{,}5.
A moda é o valor que ocorre com maior frequência, aqui é
\text{moda} = 8.

Passo 3

Agora calculamos o desvio-padrão amostral e o coeficiente de variação.
Primeiro a soma dos quadrados:
\sum x^2 = 12110.
A variância amostral é
s^2 = \frac{\sum x^2 - n\,\bar x^2}{n-1} = \frac{12110 - 26\,(15{,}9231)^2}{25} \approx 220{,}71.
O desvio-padrão é
s = \sqrt{220{,}71}\approx 14{,}85.
O coeficiente de variação em porcentagem é
CV = \frac{s}{\bar x}\times 100\%\approx \frac{14{,}85}{15{,}92}\times100\%\approx93{,}3\%.

Passo 4

Para o histograma escolhemos classes de amplitude 10:
(0,10],\;(10,20],\;(20,30],\;(30,40],\;(40,50],\;(50,60].
Contando as observações em cada classe, obtemos:
\displaystyle (0,10] : 15
\displaystyle (10,20]: 4
\displaystyle (20,30]: 3
\displaystyle (30,40]: 2
\displaystyle (40,50]: 0
\displaystyle (50,60]: 2
Dessa forma, o histograma terá seis barras com essas frequências.

Passo 5

Para os quartis, dividimos o conjunto ordenado em duas metades de 13 valores cada (excluindo o par central usado na mediana).
A metade inferior é
1,2,2,4,4,5,7,7,8,8,8,8,9
e seu termo central (7º) é
Q_1 = 7.
A metade superior é
10,10,14,18,18,19,22,24,30,31,35,53,57
e seu termo central (7º) é
Q_3 = 22.
Logo
Q_1 = 7,\quad Q_2 = 9{,}5,\quad Q_3 = 22.

Passo 6

No boxplot usamos
\min=1,\;Q_1=7,\;Q_2=9{,}5,\;Q_3=22,\;\max=57,
e verificamos outliers pelo critério de Tukey:
IQR = Q_3 - Q_1 = 15,\quad \text{limite superior} = Q_3 + 1{,}5\times IQR = 44{,}5.
Valores acima de 44{,}5 são outliers: 53 e 57.
Os “bigodes” do boxplot vão de 1 até o maior não-outlier ( 35), e os pontos 53 e 57 aparecem isolados como outliers.

Resposta

(a) \bar x\approx15{,}92, mediana =9{,}5, moda =8, s\approx14{,}85, CV\approx93{,}3\%.
(b) Histograma em classes de amplitude 10 com frequências (15,4,3,2,0,2).
(c) Q_1=7, Q_2=9{,}5, Q_3=22.
(d) Boxplot com whiskers em [1,35] e outliers em 53 e 57.

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