Determinar o valor de k para que os pontos A(0,0,3), B(1,2,0), C(5,-1,-1) e D(2,2, k) sejam vértices de uma mesma face de um poliedro.

Passo 1

O enunciado nos dá os pontos A(0,0,3), B(1,2,0), C(5,-1,-1) e D(2,2,k) e pede o valor de k para que eles sejam vértices de uma mesma face de um poliedro. Como quatro pontos definem uma face se, e somente se, forem coplanares, vamos usar a condição de coplanaridade dada pelo produto escalar triplo igual a zero.

Passo 2

Vamos primeiro calcular os vetores
AB = B-A = (1,2,-3), AC = C-A = (5,-1,-4), AD = D-A = (2,2,k-3)

Passo 3

Em seguida, montamos o produto vetorial ACtimesAD:
ACtimesAD = i & j & k 5 & -1 & -4 2 & 2 & k-3 = il((-1)(k-3)-(-4)(2)r) -jl(5(k-3)-(-4)(2)r) +kl(5cdot2-(-1)cdot2r)
Simplificando cada componente:
ACtimesAD = i(11 - k);-;j(5k - 7);+;k(12)

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar triplo ABcdot(ACtimesAD) e igualamos a zero:
ABcdot(ACtimesAD) = (1),(11 - k) + (2),(-(5k - 7)) + (-3),(12) = -11,(k+1)
Para coplanaridade, esse valor deve ser zero, logo
-11,(k+1)=0 Longrightarrow k+1=0 Longrightarrow k=-1

Resposta

k = -1

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